Юлия Владимировна Азарова — аспирант
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26
Yulia V. Azarova — postgraduate student
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337
Даниил Николаевич Казаков — аспирант
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26
Daniil N. Kazakov — postgraduate student
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337
Владимир Андреевич Бунин — аспирант
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26
Vladimir A. Bunin — postgraduate student
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337
Сергей Владимирович Кузнецов — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26
Scopus: 7202573564, ResearcherID: H-9448-2013
Sergey V. Kuznetsov — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337
Scopus: 7202573564, ResearcherID: H-9448-2013
Введение. Рассмотрена задача анализа нелинейных колебаний гармонического осциллятора Дуффинга, актуальная для оценки устойчивости механических и строительных систем с упругими и демпфирующими элементами. Актуальность исследования обусловлена необходимостью описания переходов от регулярных колебаний к хаосу в элементах сейсмоизоляции и виброзащиты зданий. Новизна работы заключается в применении метода Розенштейна для количественной оценки экспонентоподобной величины e1 вместо традиционного визуального анализа, использованного в классических исследованиях Ю. Уэды (1979).
Материалы и методы. Математическая модель осциллятора описывается уравнением ẍ + kẋ + x3 = Bcos(ωt). Численное решение получено в среде MATLAB с применением пакета «+ueda». Для анализа динамики построены сечения Пуанкаре и рассчитаны экспонентоподобные величины e1 методом Розенштейна, основанном на отслеживании расхождения траекторий в реконструированном фазовом пространстве.
Результаты. Показано, что при увеличении амплитуды возбуждения B (при k = 0,10) система переходит от периодических режимов к хаотическим через квазипериодичность. При увеличении демпфирования k (при B = 12,0) наблюдается обратный процесс — постепенное подавление хаоса и возвращение к регулярным колебаниям. Построены зависимости e1(B) и e1(k), уточняющие границы переходов к хаосу по сравнению с данными Ю. Уэды. Метод Розенштейна позволил количественно подтвердить наличие критических интервалов Bc = 11,9–12,2 и kc = 0,26–0,30.
Выводы. Результаты исследования подтвердили применимость метода Розенштейна для количественной идентификации хаотических режимов в системах Дуффинга. Полученные данные уточняют границы переходов, согласуясь с классическими работами, и могут быть использованы при проектировании сейсмоизоляторов и вибродемпфирующих устройств, где необходимо избегать хаотических колебаний.
Introduction. The paper investigates nonlinear oscillations of the Duffing harmonic oscillator, which are relevant for assessing the stability of mechanical and structural systems with elastic and damping components. The study’s relevance is linked to understanding the transition from regular to chaotic oscillations in seismic isolation and vibration control elements. The novelty lies in applying the Rosenstein method to quantitatively estimate the exponent-like quantity e1, replacing the qualitative approach used in Ueda’s classical studies (1979).
Materials and methods. The oscillator is described by the equation ẍ + kẋ + x3 = Bcos(ωt). Numerical integration was performed in MATLAB using the custom “+ueda” package. The dynamics were analyzed through Poincaré sections and by calculating the exponent-like value e1 using the Rosenstein algorithm, which tracks divergence of nearby trajectories in the reconstructed phase space.
Results. It is shown that increasing the excitation amplitude B (at k = 0.10) drives the system from periodic to chaotic motion via quasi-periodic states. Increasing the damping k (at B = 12.0) suppresses chaotic oscillations, restoring regular behaviour. The dependencies e1(B) and e1(k), refine the boundaries of chaos onset compared to Ueda’s results, identifying critical intervals Bc = 11.9–12.2 and kc = 0.26–0.30.
Conclusions. The results of the study confirmed the applicability of the Rosenstein method for the quantitative identification of chaotic modes in Duffing systems. The data obtained refine the boundaries of the transitions, in line with classical studies, and can be used in the design of seismic isolators and vibration-damping devices where it is necessary to avoid chaotic oscillations.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.