Виктор Николаевич Орлов — доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26
РИНЦ ID: 711175, Scopus: 57202806960, ResearcherID: ABF-7635-2020
Victor N. Orlov — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Professor of the Department of Higher Mathematics
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337
ID RSCI: 711175, Scopus: 57202806960, Researcher ID: ABF-7635-2020
Магомедюсуф Владимирович Гасанов — преподаватель кафедры высшей математики
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26
Scopus: 57222119930, ResearcherID: AFZ-3342-2022
Magomedyusuf V. Gasanov — lecturer of the Department of Higher Mathematics
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337
Scopus: 57222119930, ResearcherID: AFZ-3342-2022
Введение. Рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка с полиномиальной правой частью седьмой степени, описывающее волновые процессы в балках. При исследовании такого класса уравнений в общем случае неразрешимых в квадратурах авторы используют метод, позволяющий получить аналитическое приближенное решение. Данного рода исследования основаны на решении нескольких математических задач. Дано обобщение полученных ранее результатов исследования одного класса нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особенностями на комплексную область.
Методы и материалы. Рассматривается задача о нахождении точных границ применения приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения в окрестности подвижной особой точки. Ранее были определены границы области применения приближенного решения на основе теоремы существования и единственности, но далее полученная область была уменьшена за счет возмущения подвижной особой точки. Используя элементы дифференциального исчисления для оценки погрешности решения, в данной работе удается расширить область применения приближенного решения и приблизить к полученной первоначально области.
Результаты. Получены точные границы области применения приближенного решения. Теоретические положения подтверждены численными расчетами, что характеризует их достоверность. Рассматривается два численных эксперимента. В первом взята точка, попадающая под предыдущую и новую, полученную в данной статье, область. Во втором — точка, попадающая лишь под действие новой теоремы.
Выводы. Авторский подход метода аналитического приближенного решения находит дальнейшее развитие на примере рассматриваемого класса нелинейных уравнений. Обобщаются результаты, полученные ранее при исследовании точных границ применения приближенного решения рассматриваемого класса уравнений в окрестности подвижной особой точки в комплексной области. Представленные исследования подтверждены с помощью численных экспериментов.
Introduction. A nonlinear differential equation of the third order with a polynomial right part of the seventh degree describing wave processes in beams is considered. When studying this class of equations, generally unsolvable in quadrature, the authors use a method allowing to obtain an analytical approximate solution. This kind of research is based on the solution of several mathematical problems. The paper generalizes previously obtained results of the study of one class of nonlinear differential equations with moving singularities to the complex domain.
Materials and methods. The problem of finding the exact limits of application of the approximate solution of a nonlinear differential equation in the neighborhood of a moving singular point is considered. Previously, the boundaries of the application area of the approximate solution were determined on the basis of the theorem of unique existence, but further, the obtained area was reduced due to the perturbation of the moving singular point. Applying elements of differential calculus to estimate the error of the solution, in this work, it is possible to expand the scope of the approximate solution and bring it closer to the initially obtained area.
Results. The exact boundaries of the area of application of the approximate solution are obtained. Theoretical provisions are confirmed by numerical calculations, which characterizes their reliability. Two numerical experiments are considered. In the first one, a point falling under the previous and new area obtained in this paper is taken. In the second, the point falling only under the new theorem is taken.
Conclusions. The author’s approach of the method of analytical approximate solution is further developed on the example of the considered class of nonlinear equations. The paper summarizes the results obtained earlier in the research of the exact limits of application of the approximate solution of the considered class of equations in the vicinity of a moving singular point in the complex domain. The presented studies are confirmed by numerical experiments.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.