Михаил Николаевич Кирсанов — доктор физико-математических наук, профессор кафедры робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин
111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14
Scopus: 16412815600, ResearcherID: H-9967-2013, Google Scholar: FfoNGFwAAAAJ, IstinaResearcherID: 2939132
Mikhail N. Kirsanov — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Strength of Machines
14 Krasnokazarmennaya st., Moscow, 111250
Scopus: 16412815600, ResearcherID: H-9967-2013, Google Scholar: FfoNGFwAAAAJ, IstinaResearcherID: 2939132
Введение. Одной из ключевых проблем колебаний строительных конструкций является определение основной частоты собственных колебаний. Аналитические решения здесь редки и, как правило, базируются на приближенных оценках первой частоты сверху (метод Рэлея) или снизу (оценка Донкерлея). Чаще всего задача о собственных колебаниях решается численно с помощью метода конечных элементов с применением специализированных пакетов. Цель исследования — вывести аналитические оценки зависимости первой частоты колебаний фермы решетчатого типа от числа панелей, геометрических характеристик конструкции и параметров упругих свойств материала.
Материалы и методы. Плоская статически определимая решетка опирается основанием на стойки. Угловая опора — неподвижный шарнир. Расчет усилий в элементах конструкции производится методом вырезания узлов с использованием стандартных операторов системы символьной математики Maple. Жесткость фермы находится по формуле Максвелла – Мора. Масса фермы распределена равномерно по ее узлам. Колебания масс происходят по вертикали. Обобщением серии решений для ферм с последовательно растущим порядком на произвольное число панелей искомые формулы выводятся методом индукции.
Результаты. Замечен случай кинематической изменяемости предложенной схемы фермы. Получены формулы для первой частоты методом Донкерлея и Рэлея. Два аналитических решения сравниваются с численным, полученным для всего спектра частот. Обнаружены спектральные константы и области резонансной безопасности в спектрах семейства регулярных ферм.
Выводы. Двухсторонний метод оценки первой частоты применим для решения задач о регулярных конструкциях, где конечная формула включает в качестве параметра порядок регулярности. Для рассматриваемой конструкции погрешность метода Рэлея сопоставима с погрешностью метода Донкерлея.
Introduction. One of the main tasks of the theory of oscillations of building structures is the determination of the fundamental frequency of natural oscillations. Analytical solutions are rare here and, as a rule, are based on approximate estimates of the first frequency from above (Rayleigh’s method) or from below (Dunkerley’s estimate). Most often, the problem of natural oscillations is solved numerically by the finite element method using specialized packages. In this paper, the task is to derive analytical estimates of the dependence of the first oscillation frequency of a lattice truss on the number of panels, the geometric characteristics of the structure, and the parameters of the elastic properties of the material.
Materials and methods. A flat statically determinable lattice is supported by its base on struts. The angular support is a fixed joint. Calculation of forces in structural elements is performed by cutting out nodes using standard operators of the Maple symbolic mathematics system. The rigidity of the truss is found by the Maxwell – Mohr formula. The mass of the truss is distributed uniformly over its nodes. Mass oscillations occur vertically. By generalizing a series of solutions for trusses with a successively increasing order to an arbitrary number of panels, the desired formulas are derived by induction.
Results. A case of kinematic variability of the proposed truss scheme was noticed. Formulas for the first frequency are obtained by the Dunkerley and Rayleigh method. The two analytical solutions are compared with the numerical solution obtained for the entire frequency spectrum. Spectral constants and resonant safety regions were discovered in the spectra of a family of regular trusses.
Conclusions. The two-sided method for estimating the first frequency is applicable to solving problems on regular constructions, where the final formula includes the order of regularity as a parameter. For the construction under consideration, the error of the Rayleigh method is comparable to the error of the Dunkerley method.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.