Владимир Николаевич Сидоров — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информатики и прикладной математики, академик РААСН; профессор кафедры строительных конструкций, зданий и сооружений Института пути, строительства и сооружений
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; 127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9
Vladimir N. Sidorov — Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Informatics and Applied Mathematics, Academician of the RAASN; Professor of the Department of Building Structures, Buildings and Structures of the Institute of Railways, Construction and Structures
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337; build. 9, GSP-4, 9 Obraztsova st., Moscow, 127994
Елена Сергеевна Бадьина — доцент кафедры информатики и прикладной математики; кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры систем автоматизированного проектирования Института пути, строительства и сооружений; старший научный сотрудник отдела механики структурированной и гетерогенной среды Института прикладной механики
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; 127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9; 125040, г. Москва, Ленинградский пр-т, д. 7
Elena S. Badina — Associate Professor of the Department of Computer Science and Applied Mathematics; Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Computer-Aided Design Systems of the Institute of Track, Construction and Structures; senior researcher of the Department of Mechanics of Structured and Heterogeneous Environments, Institute of Applied Mechanics
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337;build. 9, GSP-4, 9 Obraztsova st., Moscow, 127994;7 Leningradsky pr., Moscow, 25040
Дмитрий Олегович Климушкин — аспирант кафедры информатики и прикладной математики
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26
Dmitriy O. Klimushkin — postgraduate student of the Department of Informatics and Applied Mathematics
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337
Введение. Предлагается методика учета диссипации энергии для балки Тимошенко путем построения при численном решении задачи матрицы демпфирования на основе модифицированной функции Рэлея. В этой модификации скорость перемещений заменена скоростями линейных и угловых деформаций. Такой подход позволяет учесть рассеяние энергии за счет внутреннего трения в материале при изменении как его объема, так и формы. Представленная методика является перспективной в практических расчетах конструкций, когда сдвиговая жесткость оказывает существенное влияние на их напряженно-деформированное состояние.
Материалы и методы. Рассмотрены несколько апробированных методов учета диссипации энергии, в том числе позволяющих учесть потерю энергии движущейся конструкции при трении о внешнюю среду (внешнее демпфирование) и диссипацию за счет трения в материале конструкции, деформируемой в движении (внутреннее демпфирование). Приводятся методики определения коэффициентов демпфирования для каждого из них. Для расчета стержневых систем используется метод конечных элементов. Матрицы демпфирования выводятся из условия стационарности полной энергии деформирования механической системы в движении, в том числе с учетом скоростей линейных и угловых деформаций.
Результаты. Приведены матрицы демпфирования, пропорциональные скоростям деформаций, полученные на основе модифицированной диссипативной функции Рэлея. Предложена методика определения коэффициента демпфирования с учетом скоростей угловых деформаций.
Выводы. Рассмотренные матрицы демпфирования описывают диссипацию энергии при колебаниях механических систем за счет внутреннего трения в материале. Матрица внутреннего демпфирования получена с учетом влияния скоростей линейных и угловых деформаций для моделирования динамического поведения коротких изгибаемых элементов конструкций, при описании деформирования которых применяется модель Тимошенко. Выполненная проверка размерностей дополнительно подтверждает корректность построения матрицы демпфирования. При этом размерность предложенного коэффициента демпфирования с учетом сдвига такая же, как у широко используемого коэффициента вязкости.
Introduction. The paper proposes a method of accounting for energy dissipation for the Timoshenko beam by constructing a damping matrix based on a modified Rayleigh function in the numerical solution of the problem. In this modification, the velocity of displacements is replaced by the velocities of linear and angular deformations. This approach allows us to take into account energy dissipation due to internal friction in the material when both its volume and shape change. The presented technique is promising in practical calculations of structures when shear stiffness has a significant impact on their stress-strain state.
Materials and methods. Several proven methods of energy dissipation accounting are considered, including those that make it possible to take into account the energy loss of a moving structure during friction with the external environment (external damping) and dissipation due to friction in the material of the structure deformed in motion (internal damping). Methods for determining the damping coefficients for each of them are presented. The finite element method is used to calculate rod systems. Damping matrices are derived from the condition of stationarity of the total energy of deformation of a mechanical system in motion, including linear and angular deformation rates.
Results. Damping matrices proportional to strain rates obtained on the basis of the modified dissipative Rayleigh function are given. A method for determining the damping coefficient taking into account the rates of angular deformation is proposed.
Conclusions. The damping matrices presented in the paper describe the energy dissipation during vibrations of mechanical systems due to internal friction in the material. The internal damping matrix was obtained taking into account the influence of linear and angular deformation rates to simulate the dynamic behaviour of short bending structural elements, the deformation of which is described using the Timoshenko model. The performed dimensional check additionally confirms the correctness of the damping matrix construction. Moreover, the dimension of the proposed shear damping coefficient is the same as that of the widely used viscosity coefficient.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.