Сергей Владимирович Кузнецов — доктор физико-математических наук, профессор, и. о. заведующего кафедрой строительной и теоретической механики
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26
Scopus: 7202573564, ResearcherID: H-9448-2013
Sergey V. Kuznecov — Doctor of Physico-Mathematical Sciences, Professor, Acting Head of the Department of Structural and Theoretical Mechanics
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337
Scopus: 7202573564, ResearcherID: H-9448-2013
Сергей Андреевич Калиновский — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры строительной и теоретической механики
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26
РИНЦ AuthorID: 670367, Scopus: 57202802927, ResearcherID: AAR-1204-2021
Sergey A. Kalinovsky — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Structural and Theoretical Mechanics
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337
RSCI AuthorID: 670367, Scopus: 57202802927, ResearcherID: AAR-1204-2021
Введение. Большое количество природных и искусственных материалов проявляют различные механические свойства при сжатии и растяжении. Такие материалы называют бимодульными. Материалы, имеющие один и тот же модуль упругости при сжатии и растяжении при испытаниях, в процессе их работы в строительных конструкциях проявляют свойства бимодульных.
Материалы и методы. Исследование связано с построением семейства однопараметрических гладких бесконечно дифференцируемых гиперупругих потенциалов для несжимаемых бимодульных материалов при одномерном движении; выводом разрешающих уравнений замкнутой формы, включая уравнение движения, уравнение совместимости Адамара и уравнение энергетического баланса; выполнением динамического анализа распространения гармонических колебаний в полубесконечном стержне. Разрабатываемый метод основан на комбинированном механико-термодинамическом подходе в сочетании с энергосберегающей явной численной схемой Лакса – Вендроффа.
Результаты. Построено семейство однопараметрических бесконечно дифференцируемых гиперупругих потенциалов для трехмерных бесконечно малых задач о бимодульных изотропных материалах, дающее набор однородных приближений к прерывистому ступенчатому модулю упругости, принятому в исходной одномерной бимодульной постановке. Введенные зависимости позволяют либо получить аналитические решения, либо вывести явные разрешающие уравнения для ряда статических и динамических задач. Доказана теорема о сходимости к разрывному модулю для бимодульных материалов.
Выводы. Фронты ударных волн, которые появляются в одномерных стержнях, изготовленных из нелинейных материалов, моделируемых семейством гладких гиперупругих потенциалов, демонстрируют, что их образование не вызвано разрывом в соотношении напряжение – деформация, соответствующем бимодульным материалам. Фронты ударных волн возникают в материалах, моделируемых рассмотренными гладкими гиперупругими потенциалами как в случае бимодульного материала, так и любого другого гиперупругого материала. Распространение фронтов ударных волн приводит к рассеянию механической энергии, что подразумевает уменьшение амплитуд с расстоянием.
Introduction. A large number of natural and artificial materials exhibit various mechanical properties under compression and tension. Such materials are called bimodular. It can also be noted that materials having the same modulus of elasticity under compression and tension during testing exhibit bimodular properties during their operation in building structures.
Materials and methods. The research described in the paper is related to the construction of a family of one-parameter smooth infinitely differentiable hyperelastic potentials for incompressible bimodular materials in one-dimensional motion; the derivation of closed-form solving equations, including the equation of motion, the Hadamard compatibility equation and the energy balance equation; performing a dynamic analysis of the propagation of harmonic vibrations in a semi-infinite rod. The developed method is based on a combined mechanical and thermodynamic approach combined with an energy-saving explicit numerical Lax – Wendroff scheme.
Results. A family of one-parameter infinitely differentiable hyperelastic potentials for three-dimensional infinitesimal problems on bimodular isotropic materials is constructed, which gives a set of homogeneous approximations to the discontinuous stepwise modulus of elasticity adopted in the initial one-dimensional bimodular formulation. The introduced dependencies make it possible either to obtain analytical solutions or to derive explicit solving equations for a number of static and dynamic problems. The theorem of convergence to a discontinuous module for bimodular materials is proved.
Conclusions. Shock wave fronts that appear in one-dimensional rods made of nonlinear materials modeled by a family of smooth hyperelastic potentials clearly demonstrate that their formation is not caused by a discontinuity in the stress-strain ratio corresponding to bimodular materials. Shock wave fronts occur in materials modeled by the considered smooth hyperelastic potentials both in the case of bimodular material and any other hyperelastic material. The propagation of shock wave fronts leads to the dissipation of mechanical energy, which implies a decrease in amplitudes with distance.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.