Михаил Николаевич Кирсанов — доктор физико-математических наук, профессор кафедры робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин
111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14
Scopus: 16412815600, ResearcherID: H-9967-2013, Google Scholar: FfoNGFwAAAAJ, IstinaID: 2939132
Mikhail N. Kirsanov — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Strength of Machines
14 Krasnokazarmennaya st., Moscow, 111250
Scopus: 16412815600, ResearcherID: H-9967-2013, Google Scholar: FfoNGFwAAAAJ, IstinaID: 2939132
Ольга Валерьевна Грибова — старший преподаватель кафедры робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин
111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14
ResearcherID: MSX-4296-2025
Olga V. Gribova — senior lecturer of the Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Strength of Machines
14 Krasnokazarmennaya st., Moscow, 111250
ResearcherID: MSX-4296-2025
Введение. Расчет частоты собственных колебаний входит в основу исследования динамики конструкций и базируется, как правило, на численных методах. В тех случаях, когда конструкция статически определима и имеет периодическую структуру, для оценки первой собственной частоты возможны и аналитические решения. Наиболее известны метод Рэлея для оценки частоты сверху и метод Донкерлея, дающий приближенную оценку снизу. Выводятся простые аналитические оценки зависимостей первых частот колебаний плоской фермы от числа панелей и параметров конструкции.
Материалы и методы. Балочная статически определимая ферма имеет подъем в средней части. Для аналитического расчета первой частоты собственных колебаний используется упрощенный вариант метода Донкерлея. Усилия в стержнях, входящие в формулу, рассчитываются в символьной форме методом вырезания узлов с применением стандартных операторов системы компьютерной математики Maple. Для установления жесткости конструкции применяется формула Максвелла – Мора. Предполагается, что масса фермы равномерно распределена по всем ее узлам. С целью обобщения последовательности отдельных решений для ферм различного порядка на произвольное число панелей используется метод индукции. Формула для второй собственной частоты получается методом трехточечной коллокации, исходя из условия подобия кривой зависимости первой частоты от числа панелей.
Результаты. Выведены формулы для двух первых частот собственных колебаний фермы. Аналитические решения сравниваются с численными, полученными для всего спектра частот. Показано, что с увеличением числа панелей точность аналитических решений растет.
Выводы. Аналитический метод оценки первой и второй частоты применим для решения задач о регулярных конструкциях. Преимущество метода состоит в независимости его точности от порядка регулярности конструкции. Простая форма результата позволяет использовать разработанный метод для выбора оптимальных параметров объекта без трудоемких компьютерных вычислений.
Introduction. Calculation of the natural oscillation frequency is the basis of the study of structural dynamics and is usually based on numerical methods. In cases where the structure is statically determinate and has a periodic structure, analytical solutions are also possible for estimating the first natural frequency. The most well-known here are the Rayleigh method for estimating the frequency from above and the Dunkerley method, which gives an approximate estimate from below. In this paper, simple analytical estimates are derived for the dependences of the first oscillation frequencies of a flat truss on the number of panels and the parameters of the structure.
Materials and methods. A statically determinate beam truss has a rise in the middle part. A simplified version of the Dunkerley method is used for the analytical calculation of the first natural oscillation frequency. The forces in the rods included in the formula are calculated in symbolic form by cutting out nodes using standard operators of the Maple computer mathematics system. The Maxwell – Mohr formula is used to determine the rigidity of the structure. It is assumed that the truss mass is uniformly distributed over all its nodes. The induction method is used to generalize the sequence of individual solutions for trusses of different orders to an arbitrary number of panels. The formula for the second natural frequency is obtained by the three-point collocation method based on the condition of similarity of the curve of the first frequency dependence on the number of panels.
Results. Formulas for the first two frequencies of natural oscillations of the truss are derived. Analytical solutions are compared with numerical ones obtained for the entire frequency spectrum. It is shown that with an increase in the number of panels, the accuracy of the analytical solution increases.
Conclusions. The analytical method for estimating the first and second frequencies is applicable to solving problems on regular structures. The advantage of the method is that its accuracy is independent of the order of regularity of the structure. The simple form of the result allows it to be used to select the optimal parameters of the object without the use of labor-intensive computer calculations.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.