mgssuvestВестник МГСУVestnik MGSU1997-09352304-6600Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU)10.22227/1997-0935.2026.2.207-218mgssuvest-888Research ArticleПроектирование и конструирование строительных систем. Строительная механика. Основания и фундаменты, подземные сооруженияConstruction system design and layout planning. Construction mechanics. Bases and foundations, underground structuresГармонические продольные волны в дискретно-неоднородных вязкоупругих стержняхHarmonic longitudinal waves in discretely inhomogeneous viscoelastic rodshttps://orcid.org/0000-0003-0694-4865СаиянС. Г.SaiyanS. G.

Сергей Гургенович Саиян — научный сотрудник Научно-образовательного центра компьютерного моделирования уникальных зданий, сооружений и комплексов им. А.Б. Золотова (НОЦ КМим. А.Б. Золотова), старший преподаватель кафедры строительной и теоретической механики, преподаватель кафедры информатики и прикладной математики; младший научный сотрудник

129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26;119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1

РИНЦ AuthorID: 987238, Scopus: 57195230884, ResearcherID: AAT-1424-2021

Sergey G. Saiyan — research fellow at the A.B. Zolotov Scientific and Educational Center for Computer Modeling of Unique Buildings, Structures, and Complexes, senior lecturer at the Department of Structural and Theoretical Mechanics, lecturer at the Department of Computer Science and Applied Mathematics; junior research fellow

26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337;build. 1, 101 Vernadsky ave., Moscow, 119526

RSCI AuthorID: 987238, Scopus: 57195230884, ResearcherID: AAT-1424-2021

berformert@gmail.comМарасановаА. А.MarasanovaA. A.

Анастасия Андреевна Марасанова — cтудент

129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26

Anastasia A. Marasanova — student

26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337

marasanova2004@gmail.comИванченкоК. Д.IvanchenkoK. D.

Ксения Дмитриевна Иванченко — cтудент

129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26

Ksenia D. Ivanchenko — student

26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337

ivanchenko.ksenia@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0003-4596-2652МодестовК. А.ModestovK. A.

Константин Анатольевич Модестов — старший преподаватель кафедры общей и прикладной физики; младший научный сотрудник Международного научного центра по фундаментальным исследованиям в области естественных и строительных наук имени заслуженного деятеля науки РФ профессора Россихина Ю.А.

129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; 394006, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, д. 84

РИНЦ AuthorID: 635355, Scopus: 57202800599, ResearcherID: C-9948-2016

Konstantin A. Modestov — senior lecturer of the Department of General and Applied Physics; junior researcher at the International Scientific Center for Fundamental Research in the Field of Natural and Construction Sciences named after Honored Scientist of the Russian Federation Professor Yu.A. Rossikhin

26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337;84, 20 let Oktyabrya st., Voronezh, 394006

RSCI AuthorID: 635355, Scopus: 57202800599, ResearcherID: C-9948-2016

ModestovKA@mgsu.ruНациональный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук (ИПМех РАН)РоссияMoscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences (IPMech RAS)Russian FederationНациональный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ);РоссияMoscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU)Russian FederationНациональный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ)РоссияMoscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU)Russian FederationНациональный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); Воронежский государственный технический университет (ВГТУ)РоссияMoscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); Voronezh State Technical University (VSTU)Russian Federation202626022026212207218Copyright © Саиян С.Г., Марасанова А.А., Иванченко К.Д., Модестов К.А., 20262026Саиян С.Г., Марасанова А.А., Иванченко К.Д., Модестов К.А.Saiyan S.G., Marasanova A.A., Ivanchenko K.D., Modestov K.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.vestnikmgsu.ru/jour/article/view/888Введение

Введение. Рассматриваются гармонические продольные волны в полубесконечных дискретно-неоднородных вязко-упругих стержнях, составленных из произвольного числа вязкоупругих слоев. Цель исследования — разработка аналитического решения, а также изучение влияния свойств слоистых материалов и моделей вязкоупругости на дисперсию и затухание волн, что важно для колебательных процессов.

Материалы и методы

Материалы и методы. Метод основан на спектральном представлении уравнений движения и применяется к классическим моделям Кельвина – Фойгта, Максвелла и стандартного линейного твердого тела. Получены явные комплексные дисперсионные соотношения, выражения для коэффициента затухания и критерии резкого роста амплитуды при переходе волны через границу слоев.

Результаты

Результаты. Выявлены зависимости демпфирования от модуля упругости, плотности и времен релаксации/ретардации.

Выводы

Выводы. Предложенный аналитический подход обеспечивает надежную основу для целенаправленного конструирования виброизолирующих метаматериалов и сейсмических барьеров с заданными частотными свойствами.

Introduction

Introduction. Harmonic longitudinal waves in semi-infinite discretely inhomogeneous viscoelastic rods composed of an arbitrary number of viscoelastic layers are considered. The aim of the study is to develop an analytical solution and to investigate the influence of the properties of layered materials and viscoelastic models on wave dispersion and attenuation, which is important for vibration processes.

Materials and methods

Materials and methods. The method is based on the spectral representation of the equations of motion and is applied to the classical models of Kelvin – Voigt, Maxwell, and the Standard Linear Solid (SLS). Explicit complex dispersion relations, expressions for the damping coefficient, and criteria for the sharp increase in amplitude when a wave passes through layer interfaces were obtained.

Results

Results. Dependencies of damping on the elastic modulus, density, relaxation/retardation times.

Conclusions

Conclusions. It is concluded that the proposed analytical approach provides a reliable basis for the targeted design of vibration-isolating metamaterials and seismic barriers with predetermined frequency characteristics.

вязкоупругостьпродольные волныдискретно-неоднородные стержнигармонические воздействиямодель Максвелламодель Кельвина – Фойгтамодель стандартного линейного телаviscoelasticitylongitudinal wavesdiscretely inhomogeneous rodsharmonic excitationsMaxwell modelKelvin – Voigt modelstandard linear solid modelРабота (С.Г. Саияна) выполнена за счет гранта РНФ № 24-49-02002.This work (by S.G. Saiyan) was supported by the Russian Science Foundation, Grant No. 24-49-02002.ReferencesБаенова Г.М., Сеньковская А.А. Обзор фононных кристаллов и акустических метаматериалов // Тенденции развития науки и образования. 2021. № 72-1. С. 23–26. DOI: 10.18411/lj-04-2021-03. EDN GSXMNL.Baenova G.M., Sen’kovskaya A.A. Review of phononic crystals and acoustic metamaterials. Trends in the Development of Science and Education. 2021; 72-1:23-26. DOI: 10.18411/lj-04-2021-03. EDN GSXMNL. (rus.).Lim C.W. From photonic crystals to seismic metamaterials : а review via phononic crystals and acoustic metamaterials // Archives of Computational Methods in Engineering. 2021. Vol. 29. Issue 2. Pp. 1137–1198. DOI: 10.1007/s11831-021-09612-8Lim C.W. From photonic crystals to seismic metamaterials : а review via phononic crystals and acoustic metamaterials. Archives of Computational Methods in Engineering. 2021; 29(2):1137-1198. DOI: 10.1007/s11831-021-09612-8Кузнецов С.В., Саиян С.Г. Нелинейные акустические волны в гиперупругих стержнях // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2025. № 2. С. 210–225. DOI: 10.31857/S1026351925020129. EDN ANREGK.Kuznecov S.V., Saiyan S.G. Nonlinear acoustic waves in hyperelastic rods. Mechanics of Solids. 2025; 2:210-225. DOI: 10.31857/S1026351925020129. EDN ANREGK. (rus.).Ma J. Phonon engineering of micro‐ and nano-phononic crystals and acoustic metamaterials : a review // Small Science. 2023. Vol. 3. Issue 1. DOI: 10.1002/smsc.202200052Ma J. Phonon engineering of micro‐ and nanophononic crystals and acoustic metamaterials : a review. Small Science. 2023; 3(1). DOI: 10.1002/smsc.202200052Qahtan A.S., Huang J., Amran M., Qader D.N., Fediuk R., Wael A.D. Seismic composite metamaterial : a review // Journal of Composites Science. 2022. Vol. 6. Issue 11. P. 348. DOI: 10.3390/jcs6110348Qahtan A.S., Huang J., Amran M., Qader D.N., Fediuk R., Wael A.D. Seismic composite metamaterial : a review. Journal of Composites Science. 2022; 6(11):348. DOI: 10.3390/jcs6110348Morozov N.F., Bratov V.A., Kuznetsov S.V. Seismic barriers for protection against surface and headwaves: multiple scatters and metamaterials // Mechanics of Solids. 2021. Vol. 56. Issue 6. Pp. 911–921. DOI: 10.3103/S0025654421060133Morozov N.F., Bratov V.A., Kuznetsov S.V. Seismic barriers for protection against surface and headwaves: multiple scatters and metamaterials. Mechanics of Solids. 2021; 56(6):911-921. DOI: 10.3103/S00256-54421060133Bratov V., Kuznetsov S., Morozov N. Seismic barriers filled with solid elastic and granular materials: Comparative analysis // Mathematics and Mechanics of Solids. 2022. Vol. 27. Issue 9. Pp. 1761–1770. DOI: 10.1177/10812865221104235Bratov V., Kuznetsov S., Morozov N. Seismic barriers filled with solid elastic and granular materials: Comparative analysis. Mathematics and Mechanics of Solids. 2022; 27(9):1761-1770. DOI: 10.1177/10812865221104235Ormachea J., Parker K.J. Comprehensive viscoelastic characterization of tissues and the inter-relationship of shear wave (group and phase) velocity, attenuation and dispersion // Ultrasound in Medicine & Biology. 2020. Vol. 46. Issue 12. Pp. 3448–3459. DOI: 10.1016/j.ultrasmedbio.2020.08.023Ormachea J., Parker K.J. Comprehensive viscoelastic characterization of tissues and the inter-relationship of shear wave (group and phase) velocity, attenuation and dispersion. Ultrasound in Medicine & Biology. 2020;46(12):3448-3459. DOI: 10.1016/j.ultrasmedbio.2020.08.023Саиян С.Г., Модестов К.А., Брыгар О.А. Моделирование волновых процессов в толстостенной вязкоупругой сферической оболочке при импульсном воздействии // Вестник Инженерной школы Дальневосточного федерального университета. 2024. № 4 (61). С. 31–39. DOI: 10.24866/2227-6858/2024-4/31-39. EDN FGFXNM.Saiyan S.G., Modestov K.A., Brygar O.A. Modeling of wave processes in a thick-walled viscoelastic spherical shell under impulse load. FEFU: School of Engineering Bulletin. 2024; 4(61):31-39. DOI: 10.24866/2227-6858/2024-4/31-39. EDN FGFXNM. (rus.).Shitikova M.V., Modestov K.A., Brygar O.A. Harmonic wave propagation modelling in viscoelastic rods via Rzhanitsyn fractional order operators // AIP Conference Proceedings. 2024. Vol. 3177. P. 030003. DOI: 10.1063/5.0294973. EDN EFIKMP.Shitikova M.V., Modestov K.A., Brygar O.A. Harmonic wave propagation modelling in viscoelastic rods via Rzhanitsyn fractional order operators. AIP Conference Proceedings. 2024; 3177:030003. DOI: 10.1063/5.0294973. EDN EFIKMP.Carcione J.M., Kosloff D., Kosloff R. Wave propagation simulation in a linear viscoelastic medium // Geophysical Journal International. 1988. Vol. 95. Issue 3. Pp. 597–611. DOI: 10.1111/j.1365-246X.1988.tb06706.xCarcione J.M., Kosloff D., Kosloff R. Wave propagation simulation in a linear viscoelastic medium. Geophysical Journal International. 1988; 95(3):597-611. DOI: 10.1111/j.1365-246X.1988.tb06706.xLai C.G., Rix G.J., Foti S., Roma V. Simultaneous measurement and inversion of surface wave dispersion and attenuation curves // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2002. Vol. 22. Issue 9–12. Pp. 923–930. DOI: 10.1016/S0267-7261(02)00116-1Lai C.G., Rix G.J., Foti S., Roma V. Simultaneous measurement and inversion of surface wave dispersion and attenuation curves. Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2002; 22:9-12:923-930. DOI: 10.1016/S0267-7261(02)00116-1Shitikova M.V., Krusser A.I. Models of viscoelastic materials : a review on historical development and formulation // Advanced Structured Materials. 2022. Pp. 285–326. DOI: 10.1007/978-3-031-04548-6_14Shitikova M.V., Krusser A.I. Models of viscoelastic materials : a review on historical development and formulation. Advanced Structured Materials. 2022; 285-326. DOI: 10.1007/978-3-031-04548-6_14Lau H.C.P. Surface loading on a self-gravitating, linear viscoelastic Earth: moving beyond Maxwell// Geophysical Journal International. 2024. Vol. 237. Issue 3. Pp. 1842–1857. DOI: 10.1093/gji/ggae149Lau H.C.P. Surface loading on a self-gravitating, linear viscoelastic Earth: moving beyond Maxwell. Geophysical Journal International. 2024; 237(3):1842-1857. DOI: 10.1093/gji/ggae149Shu Z., You R., Zhou Y. Viscoelastic materials for structural dampers : а review // Construction and Building Materials. 2022. Vol. 342. P. 127955. DOI: 10.1016/j.conbuildmat.2022.127955Shu Z., You R., Zhou Y. Viscoelastic materials for structural dampers : а review. Construction and Building Materials. 2022; 342:127955. DOI: 10.1016/j.conbuildmat.2022.127955Саиян С.Г. Аналитические решения прохождения поверхностных волн через энергопоглощающие сейсмические барьеры // Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений : тез. докл. IX Междунар. симпозиума. 2025. С. 102–103. EDN FBKRGV.Saiyan S.G. Analytical solutions for the propagation of surface waves through energy-absorbing seismic barriers. Actual Problems of Computer Modeling of Structures : Proceedings Abstracts of the 9th International Symposium. 2025; 102-103. EDN FBKRGV. (rus.).Modestov K., Saiyan S., Erokhin A., Brygar O. Derivation of the one-dimensional radiation condition in elasticity theory by introducing infinitesimal viscosity // E3S Web of Conferences. 2023. Vol. 410. P. 03025. DOI: 10.1051/e3sconf/202341003025Modestov K., Saiyan S., Erokhin A., Brygar O. Derivation of the one-dimensional radiation condition in elasticity theory by introducing infinitesimal viscosity. E3S Web of Conferences. 2023; 410:03025. DOI: 10.1051/e3sconf/202341003025Shitikova M.V., Modestov K.A. Analysis of Harmonic Wave Propagation in Fractional Derivative Viscoelastic Media Based on Time-Dependent Modulus of the P-Wave // Mechanics of Solids. 2024. Vol. 59. Issue 8. Pp. 3949–3967. DOI: 10.1134/S00256544246-07079Shitikova M.V., Modestov K.A. Analysis of Harmonic Wave Propagation in Fractional Derivative Viscoelastic Media Based on Time-Dependent Modulus of the P-Wave. Mechanics of Solids. 2024; 59(8):3949-3967. DOI: 10.1134/S0025654424607079Шитикова М.В. Обзор вязкоупругих моделей с операторами дробного порядка, используемых в динамических задачах механики твердого тела // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2022. № 1. С. 3–40. DOI: 10.31857/S0572329921060118. EDN QMNNKY.Shitikova M.V. Fractional operator viscoelastic models in dynamic problems of mechanics of so-lids : a review. Mechanics of Solids. 2022; 1:3-40. DOI: 10.31857/S0572329921060118. EDN QMNNKY. (rus.).Модестов К.А., Шитикова М.В. Распространение гармонических волн в вязкоупругих средах, описываемых моделями с дробными производными // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025. Т. 25. № 2. С. 214–230. DOI: 10.18500/1816-9791-2025-25-2-214-230. EDN PVASPW.Modestov K.A., Shitikova M.V. Harmonic wave propagation in viscoelastic media modelled via fractional derivative models. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2025; 25(2):214-230. DOI: 10.18500/1816-9791-2025-25-2-214-230. EDN PVASPW. (rus.).Gulkanov A.G., Modestov K.A., Shitikova M.V., Erokhin A.V. Propagation of harmonic waves in viscoelastic rods via the fractional derivative models // AIP Conference Proceedings. 2025. Vol. 3271. P. 060002. DOI: 10.1063/5.0251912Gulkanov A.G., Modestov K.A., Shitikova M.V., Erokhin A.V. Propagation of harmonic waves in viscoelastic rods via the fractional derivative models. AIP Conference Proceedings. 2025; 3271:060002. DOI: 10.1063/5.0251912

The authors declare that there are no conflicts of interest present.