Михаил Николаевич Кирсанов — доктор физико-математических наук, профессор кафедры робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин
111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14
Scopus: 16412815600, ResearcherID: H-9967-2013, Google Scholar: FfoNGFwAAAAJ, IstinaResearcherID: 2939132
Mikhail N. Kirsanov — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Strength of Machines
14 Krasnokazarmennaya st., Moscow, 111250
Scopus: 16412815600, ResearcherID: H-9967-2013, Google Scholar: FfoNGFwAAAAJ, IstinaResearcherID: 2939132
Введение. Расчет частоты собственных колебаний строительных конструкций, как правило, выполняется численными методами. Для оценки границ частоты колебаний простых статически определимых конструкций известны методы получения аналитических решений. Если конструкция регулярная и имеет периодическую структуру, то возможности аналитических методов расширяются. С помощью метода индукции в расчетную формулу для собственной частоты можно ввести дополнительный важный параметр — число периодических структур конструкции, например число панелей. Приближенный метод Рэлея дает оценку частоты колебаний сверху, а метод Донкерлея — оценку снизу. Предлагается схема консольной пространственной статически определимой фермы с регулярной структурой и приводится вывод формулы для ее первой частоты колебаний тремя аналитическими методами.
Материалы и методы. Ферма состоит из шести соединенных по длинным сторонам плоских ферм с раскосной решеткой. Крепление консольной конструкции к вертикальному основанию выполнено на шести опорах. Для определения жесткости фермы используется формула Максвелла – Мора и система компьютерной математики Maple. Выводится формула для зависимости первой частоты колебаний на основе методов Донкерлея и Рэлея, в которые вносятся упрощения, связанные с суммированием. Зависимость частоты от числа панелей находится индуктивным методом обобщения результатов, полученных для отдельных решений в символьном виде на произвольный случай.
Результаты. Аналитические решения сравниваются с численным, полученным для первой частоты из анализа спектра частот. Показано, что точность аналитических решений немонотонно зависит от числа панелей, и для трех использованных методов эта зависимость разная.
Выводы. Модифицированный метод Рэлея для небольшого числа панелей по сравнению с методами на основе подхода Донкерлея продемонстрировал наибольшую точность. Погрешность всех трех методов существенно зависит от размеров конструкции и числа панелей. Аналитическая форма результатов позволяет использовать найденные решения в задачах оптимизации конструкции.
Introduction. Numerical methods are usually used to calculate the natural oscillation frequency of building structures. Methods for obtaining analytical solutions are known to estimate the oscillation frequency limits of simple statically determinate structures. If the structure is regular and has a periodic structure, the capabilities of analytical methods are expanded. The induction method adds an additional important parameter to the solution formula — the number of periodic structures of the structure, for example, the number of panels. The approximate Rayleigh method gives an upper estimate of the oscillation frequency, and the Dunkerley method gives a lower estimate. In this paper, a diagram of a cantilever spatial statically determinate truss with a regular structure is proposed and a formula for its first oscillation frequency is derived using three analytical methods.
Materials and methods. The truss consists of six flat trusses with a diagonal lattice connected along their long sides. The cantilever structure is fastened to the vertical base on six supports. To determine the rigidity of the truss, the Maxwell – Mohr formula and the Maple computer mathematics system are used. A formula is derived for the dependence of the first oscillation frequency based on the Dunkerley and Rayleigh methods, which are simplified due to summation. The dependence of the frequency on the number of panels is found by the inductive method of generalizing the results obtained for individual solutions in symbolic form to an arbitrary case.
Results. Analytical solutions are compared with the numerical one obtained for the first frequency from the frequency spectrum analysis. It is shown that the accuracy of the analytical solution depends non-monotonically on the number of panels and this dependence is different for the three methods used.
Conclusions. The modified Rayleigh method for a small number of panels showed the highest accuracy compared to the methods based on the Dunkerley approach. The error of all three methods depends significantly on the dimensions of the structure and the number of panels. The analytical form of the results allows using the found solutions in design optimization problems.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.