Точные границы области применения приближенного решения для некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений в комплексной области

Введение. Рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка с полиномиальной правой частью седьмой степени, описывающее волновые процессы в балках. При исследовании такого класса уравнений в общем случае неразрешимых в квадратурах авторы используют метод, позволяющий получить аналитическое приближенное решение. Данного рода исследования основаны на решении нескольких математических задач. Дано обобщение полученных ранее результатов исследования одного класса нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особенностями на комплексную область.

Методы и материалы. Рассматривается задача о нахождении точных границ применения приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения в окрестности подвижной особой точки. Ранее были определены границы области применения приближенного решения на основе теоремы существования и единственности, но далее полученная область была уменьшена за счет возмущения подвижной особой точки. Используя элементы дифференциального исчисления для оценки погрешности решения, в данной работе удается расширить область применения приближенного решения и приблизить к полученной первоначально области.

Результаты. Получены точные границы области применения приближенного решения. Теоретические положения подтверждены численными расчетами, что характеризует их достоверность. Рассматривается два численных эксперимента. В первом взята точка, попадающая под предыдущую и новую, полученную в данной статье, область. Во втором — точка, попадающая лишь под действие новой теоремы.

Выводы. Авторский подход метода аналитического приближенного решения находит дальнейшее развитие на примере рассматриваемого класса нелинейных уравнений. Обобщаются результаты, полученные ранее при исследовании точных границ применения приближенного решения рассматриваемого класса уравнений в окрестности подвижной особой точки в комплексной области. Представленные исследования подтверждены с помощью численных экспериментов.

1. Feng Y. Existence and uniqueness results for a third-order implicit differential equation // Computers and Mathematics with Applications. 2008. Vol. 56. Issue 1. Pp. 2507–2514. DOI: 10.1016/j.camwa.2008.05.021

2. Чугайнова А.П. Нестационарные решения обобщенного уравнения Кортевега–де Фриза–Бюргерса // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2013. Т. 281. С. 215. DOI: 10.1134/S0371968513020179. EDN QZXEUL.

3. Chichurin A., Filipuk G. The properties of certain linear and nonlinear differential equations of the fourth order arising in beam models // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1425. Issue 1. P. 012107. DOI: 10.1088/1742-6596/1425/1/012107

4. Jamshed W., Uma Devi S.S., Goodarzi M., Prakash M., Sooppy Nisar K., Zakarya M. et al. Evaluating the unsteady Casson nanofluid over a stretching sheet with solar thermal radiation: An optimal case study // Case Studies in Thermal Engineering. 2021. Vol. 26. P. 101160. DOI: 10.1016/j.csite.2021.101160

5. Dwivedi P., Sudhakar K., Soni A., Solomin E., Kirpichnikova I. Advanced cooling techniques of P.V. modules: A state of art // Case Studies in Thermal Engineering. 2020. Vol. 21. P. 100674. DOI: 10.1016/j.csite.2020.100674

6. Li P., Zhao W. Image fire detection algorithms based on convolutional neural networks // Case Studies in Thermal Engineering. 2020. Vol. 19. P. 100625. DOI: 10.1016/j.csite.2020.100625

7. Kudryashov N.A. Optical solitons of the Schrödinger–Hirota equation of the fourth order // Optik. 2023. Vol. 274. P. 170587. DOI: 10.1016/j.ijleo.2023.170587

8. Kudryashov N.A. Dispersive optical solitons of the generalized Schrödinger–Hirota model // Optik. 2023. Vol. 272. P. 170365. DOI: 10.1016/j.ijleo.2022.170365

9. Carillo S., Chichurin A., Filipuk G., Zullo F. Schwarzian derivative, Painlevé XXV–Ermakov equation, and Bäcklund transformations // Mathematische Nachrichten. 2023. DOI: 10.1002/mana.202200180

10. Вересович П.П., Яблонский А.И. О подвижных особых точках систем дифференциальных уравнений третьего порядка // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 11. С. 1932–1939.

11. Писаренок В.П., Яблонский А.И. Дифференциальное уравнение, имеющее решения с алгебраическими подвижными особыми точками // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 5. С. 928–930.

12. Соболевский С.Л. Подвижные особые точки полиномиальных обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 6. С. 756–762. DOI: 10.1023/B:DIEQ.0000046859.46244.5e

13. Соболевский С.Л. Подвижные особые точки алгебраических обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 8. С. 1092–1099. DOI: 10.1007/s10625-005-0260-9

14. Filipuk G., Kecker T. On singularities of certain non-linear second-order ordinary differential equations // Results in Mathematics. 2022. Vol. 77. Issue 1. DOI: 10.1007/s00025-021-01577-1

15. Filipuk G., Halburd R.G. Movable algebraic singularities of second-order ordinary differential equations // Journal of Mathematical Physics. 2009. Vol. 50. Issue 2. DOI: 10.1063/1.3068414

16. Леонтьева Т.Ю. Об одном обобщении точных критериев существования подвижных особых точек одного класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. № 13 (262). С. 51–57. EDN ZCJDNR.

17. Пчелова А.З. Границы области применения приближенного решения в окрестности возмущенной подвижной особой точки одного дифференциального уравнения в комплексной области // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2014. № 4. С. 170–179. EDN SXXCML.

18. Орлов В.Н., Ив Б.Б. Теорема существования решения одного класса нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка с полиномиальной правой частью второй степени в окрестности подвижной особой точки // Вестник Башкирского университета. 2018. T. 23. № 4. С. 980–986. EDN YUXNSH.

19. Astashova I.V. On asymptotic classification of solutions to nonlinear regular and singular third- and fourth-order differential equations with power nonlinearity // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 2016. Pp. 191–203. DOI: 10.1007/978-3-319-32857-7_18

20. Astashova I., Bartušek M., Došlá Z., Marini M. Asymptotic proximity to higher order nonlinear differential equations // Advances in Nonlinear Analysis. 2022. Vol. 11. Issue 1. Pp. 1598–1613. DOI: 10.1515/anona-2022-0254

21. Kruskal M.D., Joshi N., Halburd R. Analytic and asymptotic methods for nonlinear singularity analysis: a review and extensions of tests for the Painlevé property // Integrability of Nonlinear Systems. 2007. Pp. 171–205. DOI: 10.1007/BFb0113696

22. Řehák P. On asymptotic relationships between two higher order dynamic equations on time scale // Applied Mathematics Letters. 2017. Vol. 73. Pp. 84–90. DOI: 10.1016/j.aml.2017.02.013

23. Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Time-varying linearization and the perron effects // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2007. Vol. 17. Issue 4. Pp. 1079–1107. DOI: 10.1142/S0218127407017732

24. Hartman P. On the local linearization of differential equations // Proceedings of the American Mathematical Society. 1963. Vol. 14. Issue 4. Pp. 568–573. DOI: 10.1090/s0002-9939-1963-0152718-3

25. Ramos J.I. Linearization techniques for singular initial-value problems of ordinary differential equations // Applied Mathematics and Computation. 2005. Vol. 161. Issue 2. Pp. 525–542. DOI: 10.1016/j.amc.2003.12.047

26. Jimenez J.C., Shoji I., Ozaki T. Simulation of stochastic differential equations through the local linearization method. A comparative study // Journal of Statistical Physics. 1999. Vol. 94. Pp. 587–602. DOI: 10.1023/A:1004504506041

27. Орлов В.Н., Гасанов М.В. Теорема существования решения одного класса нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка с полиномиальной правой частью седьмой степени в окрестности подвижной особой точки // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2020. № 1 (43). С. 92–100. DOI: 10.37972/chgpu.2020.43.1.011. EDN LDNWPN.

28. Orlov V.N., Gasanov M.V. Study of wave processes in elastic beams and nonlinear differential equations with moving singular points // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2021. Vol. 1030. Issue 1. P. 012081. DOI: 10.1088/1757-899X/1030/1/012081

29. Orlov V.N., Gasanov M.V. Analytic approximate solution in the neighborhood of a moving singular point of a class of nonlinear equations // Axioms. 2022. Vol. 11. Issue 11. P. 637. DOI: 10.3390/axioms11110637

30. Бахвалов Н.С. Численные методы. М. : Наука, 1970. 632 с.