Формулы для двухсторонней оценки основной частоты колебаний решетчатой фермы

Введение. Одной из ключевых проблем колебаний строительных конструкций является определение основной частоты собственных колебаний. Аналитические решения здесь редки и, как правило, базируются на приближенных оценках первой частоты сверху (метод Рэлея) или снизу (оценка Донкерлея). Чаще всего задача о собственных колебаниях решается численно с помощью метода конечных элементов с применением специализированных пакетов. Цель исследования — вывести аналитические оценки зависимости первой частоты колебаний фермы решетчатого типа от числа панелей, геометрических характеристик конструкции и параметров упругих свойств материала.

Материалы и методы. Плоская статически определимая решетка опирается основанием на стойки. Угловая опора — неподвижный шарнир. Расчет усилий в элементах конструкции производится методом вырезания узлов с использованием стандартных операторов системы символьной математики Maple. Жесткость фермы находится по формуле Максвелла – Мора. Масса фермы распределена равномерно по ее узлам. Колебания масс происходят по вертикали. Обобщением серии решений для ферм с последовательно растущим порядком на произвольное число панелей искомые формулы выводятся методом индукции.

Результаты. Замечен случай кинематической изменяемости предложенной схемы фермы. Получены формулы для первой частоты методом Донкерлея и Рэлея. Два аналитических решения сравниваются с численным, полученным для всего спектра частот. Обнаружены спектральные константы и области резонансной безопасности в спектрах семейства регулярных ферм.

Выводы. Двухсторонний метод оценки первой частоты применим для решения задач о регулярных конструкциях, где конечная формула включает в качестве параметра порядок регулярности. Для рассматриваемой конструкции погрешность метода Рэлея сопоставима с погрешностью метода Донкерлея.

1. Клёпов М.В., Иванов С.Ю. Учет демпфирования колебаний при динамических нагрузках в ПК «Лира» // Смотр-конкурс научных, конструкторских и технологических работ студентов Волгоградского государственного технического университета : тез. докл. 2019. С. 393–394. EDN XPKWLG.

2. Брянцев А.А. Вариантное проектирование ферм с использованием программы ЛИРА-САПР // Вестник КазГАСА. 2020. Т. 3. С. 77.

3. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В. Метод конечных элементов в форме классического смешанного метода строительной механики (теория, математические модели и алгоритмы). М. : Изд-во АСВ, 2022. 306 с.

4. Канатова М.И. Частотное уравнение и анализ колебаний плоской балочной фермы // Trends in Applied Mechanics and Mechatronics. 2015. С. 31–34. EDN ZBBKPJ.

5. Петриченко Е.А. Нижняя граница частоты собственных колебаний фермы Финка // Строительная механика и конструкции. 2020. № 3 (26). С. 21–29. EDN PINHFN.

6. Суд И.Б. Вывод формул для прогиба шпренгельной балочной фермы с произвольным числом панелей в системе Maple // Строительная механика и конструкции. 2020. № 2 (25). С. 25–32. EDN VIOBNE.

7. Халецки М. Алгоритм вычисления перемещений в плоских рамных стержневых конструкциях // Механика. Научные исследования и учебно-методические разработки. 2013. № 7. C. 237–252. EDN XXEBKX.

8. Комерзан Е.В., Лушнов Н.А., Осипова Т.С. Аналитический расчет прогиба плоской шпренгельной фермы с произвольным числом панелей // Строительная механика и конструкции. 2022. № 2 (33). С. 17–25. DOI: 10.36622/VSTU.2022.33.2.002. EDN NTJXAL.

9. Манукало А.С. Анализ значения первой частоты собственных колебаний плоской шпренгельной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). С. 54–60. DOI: 10.36622/VSTU.2023.37.2.006. EDN UXEELW.

10. Комерзан Е.В., Маслов А.Н. Оценка основной частоты колебаний Г-образной пространственной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). С. 35–45. DOI: 10.36622/VSTU.2023.37.2.004. EDN UGWBIP.

11. Комерзан Е.В., Маслов А.Н. Аналитическая оценка основной частоты собственных колебаний регулярной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). С. 17–26. DOI: 10.36622/VSTU.2023.37.2.002. EDN GMNMJQ.

12. Hutchinson R.G., Fleck N.A. Microarchitectured cellular solids — the hunt for statically determinate periodic trusses // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 2005. Vol. 85. Issue 9. Pp. 607–617. DOI: 10.1002/zamm.200410208

13. Hutchinson R.G., Fleck N.A. The structural performance of the periodic truss // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006. Vol. 54. Issue 4. Pp. 756–782. DOI: 10.1016/j.jmps.2005.10.008

14. Kaveh A. Optimal analysis of structures by concepts of symmetry and regularity. Springer Vienna, 2013. DOI: 10.1007/978-3-7091-1565-7

15. Тиньков Д.В. Сравнительный анализ аналитических решений задачи о прогибе ферменных конструкций // Инженерно-строительный журнал. 2015. № 5 (57). С. 66–73. DOI: 10.5862/MCE.57.6. EDN UHLIHV.

16. Галишникова В.В., Игнатьев В.А. Регулярные стержневые системы: теория и методы расчета. Волгоград : ВолгГАСУ, 2006. EDN QNMMHT.

17. Мелёхин Е.А. Анализ напряженно-деформированного состояния пролетной трехгранной фермы при линейных нагрузках // Вестник МГСУ. 2023. Т. 18. № 4. С. 556–571. DOI: 10.22227/1997-0935.2023.4.556-571. EDN ZAYUKQ.

18. Петренко В.Ф. Оценка собственной частоты двухпролетной фермы с учетом жесткости опор // Строительная механика и конструкции. 2021. № 4 (31). С. 16–25. DOI: 10.36622/VSTU.2021.31.4.002. EDN: QJZZJK.

19. Saglik H., Balkaya C., Chen A., Ma R., Doran B. Development of natural frequency in multi-span composite bridges with variable cross-section: Analytical and numerical solutions // Structures. 2022. Vol. 45. Pp. 1657–1666. DOI: 10.1016/j.istruc.2022.09.082

20. Бука-Вайваде К., Кирсанов М.Н., Сердюк Д.О. Calculation of deformations of a cantilever-frame planar truss model with an arbitrary number of panels // Вестник МГСУ. 2020. Т. 15. № 4. С. 510–517. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=42777640 DOI: 10.22227/1997-0935.2020.4.510-517

21. Кирсанов М.Н. Кинематический анализ и оценка частоты собственных колебаний плоской решетки // Вестник МГСУ. 2022. Т. 17. № 10. С. 1324–1330. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=50118989 DOI: 10.22227/1997-0935.2022.10.1324-1330

22. Кирсанов М.Н. Плоские фермы. Схемы и расчетные формулы : справочник. М. : ИНФРА-М, 2019. 238 с.

23. Low K.H. A modified Dunkerley formula for eigenfrequencies of beams carrying concentrated masses // International Journal of Mechanical Sciences. 2000. Vol. 42. Issue 7. Pp. 1287–1305. DOI: 10.1016/s0020-7403(99)00049-1

24. Kirsanov M., Ivanitskii A. Bilateral analytical estimation of the natural oscillation frequency of a planar triangular truss // AlfaBuild. 2023. Vol. 26. P. 2601. DOI: 10.57728/ALF.26.1

25. Kirsanov M. Simplified Dunkerley method for estimating the first oscillation frequency of a regular truss // Construction of Unique Buildings and Structures. 2023. Vol. 108. P. 10801. DOI: 10.4123/CUBS.108.1