Вычислительный алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости тонкостенных оболочек

Введение. Исследования процессов деформирования оболочек преимущественно осуществляют с использованием вычислительных алгоритмов, реализующих применение различных численных методов. Данные алгоритмы должны обеспечивать получение точных результатов и высокую скорость выполнения расчетов, а также быть устойчивы к изменению входных параметров (геометрия, материал). Цель данного исследования — разработка вычислительного алгоритма расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости оболочек, построенного на применении метода Ритца и метода Ньютона, обеспечивающего высокую производительность и устойчивость решения.

Материалы и методы. Деформирование оболочечных конструкций описывается геометрически нелинейной математической моделью типа Тимошенко – Рейсснера, которая учитывает поперечные сдвиги и ортотропию материала. Математическая модель записана в виде функционала полной потенциальной энергии деформации оболочки. Исследование НДС и устойчивости конструкции сводится к нахождению минимума функционала. Методом Ритца данная задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Решение полученной системы осуществляется методом Ньютона. Отличительная особенность этого алгоритма — применение адаптивного шага по нагрузке при решении системы нелинейных алгебраических уравнений.

Результаты. Проведены расчеты конструкций: пологих оболочек двоякой кривизны и цилиндрических панелей из изотропных и ортотропных материалов. Полученные значения критических нагрузок имеют хорошую согласованность с результатами других авторов: для пологих оболочек двоякой кривизны максимальное расхождение результатов составило 8,05 %, для цилиндрических панелей — 7,29 %.

Выводы. Разработан устойчивый к изменению геометрии и материала конструкции вычислительный алгоритм расчета НДС и устойчивости оболочек. Высокая производительность алгоритма обеспечивается за счет применения адаптивного шага по нагрузке при решении системы нелинейных алгебраических уравнений. Обоснована возможность использования алгоритма при исследовании пологих оболочек двоякой кривизны и цилиндрических панелей.

1. Соколов В.Г., Разов И.О., Волынец С.И. Исследование свободных колебаний тонкостенных прямолинейных газопроводов большого диаметра при полуподземной прокладке // Вестник гражданских инженеров. 2019. № 6 (77). С. 149–156. DOI: 10.23968/1999-5571-2019-16-5-149-156. EDN EGOGDV.

2. Гришин И.В., Каюмов Р.А. Упрощенное уравнение многослойной плиты для описания работы асфальтобетонных покрытий металлических мостов // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. 2022. № 4 (62). С. 119–128. DOI: 10.52409/20731523_20224119. EDN FDJBZY.

3. Василькин А.А. Управление поведением вертикального стального резервуара в период эксплуатации // Известия Юго-Западного государственного университета. 2018. № 4 (79). С. 66–74. DOI: 10.21869/2223-1560-2018-22-4-66-74. EDN YQVOJN.

4. Vescovini R., Oliveri V., Pizzi D., Dozio L., Weaver P.M. A semi-analytical approach for the analysis of variable-stiffness panels with curvilinear stiffeners // International Journal of Solids and Structures. 2020. Vol. 188–189. Pp. 244–260. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2019.10.011

5. Кузнецова В.О. К вопросу учета кинетики наводороживания на предельное состояние сферических оболочек из титанового сплава // Строительные конструкции, здания и сооружения. 2024. № 2 (7). С. 4–14. EDN SZJYCD.

6. Железнов Л.П. Нелинейное деформирование и устойчивость композитной цилиндрической оболочки при комбинированном нагружении изгибающим моментом и краевой поперечной силой // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2022. № 8 (749). С. 84–95. DOI: 10.18698/0536-1044-2022-8-84-95. EDN XAAWGI.

7. Тумашик Г.А., Фрумен А.И. Исследование статической и динамической прочности цилиндрической оболочки, контактирующей с круговой диафрагмой // Вестник Московского авиационного института. 2012. Т. 19. № 5. С. 192–196. EDN PIGEEH.

8. Овчинников И.И., Овчинников И.Г. Моделирование и оптимальное проектирование круглых пластинок, взаимодействующих с агрессивными средами : монография. Тюмень : Тюменский индустриальный университет, 2023. 198 с. EDN QZDQRC.

9. Ghaiasvand A., Rashid H.A. Numerical and experimental analysis of buckling and post buckling in cylindrical shells with circular cutout // Computations and Simulations in Mechanical Science. 2018. Vol. 1. Issue 2. Pp. 24–28.

10. Турков А.В., Полешко С.И. Исследование прогибов и частот собственных колебаний круглых изотропных пластин переменной толщины по закону квадратной параболы с утолщением на опоре // Вестник МГСУ. 2023. Т. 18. № 8. С. 1212–1219. DOI: 10.22227/1997-0935.2023.8.1212-1219. EDN MKTADU.

11. Пятикрестовский К.П., Травуш В.И. Экспериментальные исследования характера НДС фанерных обшивок в составе пространственных конструкций // Известия Юго-Западного государственного университета. 2015. № 5 (62). С. 36–42. EDN VHNOAJ.

12. Dewangan H.Ch., Panda S.K. Nonlinear Thermoelastic Numerical Frequency Analysis and Experimental Verification of Cutout Abided Laminated Shallow Shell Structure // Journal of Pressure Vessel Technology, Transactions of the ASME. 2022. Vol. 144. Nо. 6. DOI: 10.1115/1.4054843. EDN AQYBRW.

13. Jiao P., Chen Z., Xu F., Tang X., Su W. Effects of ringed stiffener on the buckling behavior of cylindrical shells with cutout under axial compression: Experimental and numerical investigation // Thin-Walled Structures. 2018. Vol. 123. Pp. 232–243. DOI: 10.1016/j.tws.2017.11.013

14. Бауэр С.М., Венатовская Л.А., Воронкова Е.Б. Модели механики деформируемого тела в задачах офтальмологии // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10. № 4. С. 686–712. DOI: 10.21638/spbu01.2023.407. EDN UJNCGP.

15. Трещев А.А. О механических испытаниях тонкостенных цилиндрических оболочек из композитных материалов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2023. № 7. С. 90–97. DOI: 10.24412/2071-6168-2023-7-90-91. EDN ANDSZH.

16. Петров В.В. Расчет неоднородных по толщине оболочек с учетом физической и геометрической нелинейностей // Academia. Архитектура и строительство. 2016. № 1. С. 112–117. EDN VNRSEV.

17. Кривошапко С.Н., Алёшина О.О., Иванов В.Н. Статический расчет оболочек, очерченных по поверхностям с главным каркасом из трех заданных суперэллипсов // Строительная механика и расчет сооружений. 2022. № 6 (305). С. 18–27. DOI: 10.37538/0039-2383.2022.6.18.27. EDN DIBIMW.

18. Li Sh.Ch., Zhang Yu.Ch., Chang Le., Zhou Ch.Yu., He X.H. Research on Buckling Load of Cylindrical Shell with an Inclined through Crack under External Pressure and Its Solution // Metals. 2023. Vol. 13. Issue 1. P. 174. DOI: 10.3390/met13010174. EDN YKYTUZ.

19. Pinto V.T., Rocha L.A. O., Fragassa C., dos Santos E., Isoldi L.A. Multiobjective Geometric Analysis of Stiffened Plates under ‎Bending through Constructal Design Method // Journal of Applied and Computational Mechanics. 2020. Vol. 6. Pp. 1438–1449. DOI: 10.22055/jacm.2020.35248.2608

20. Castro S.G.P., Jansen E.L. Displacement-based formulation of Koiter’s method: Application to multi-modal post-buckling finite element analysis of plates // Thin-Walled Structures. 2021. Vol. 159. P. 107217. DOI: 10.1016/j.tws.2020.107217

21. Klochkov Yu.V., Pshenichkina A.P., Nikolaev A.P., Marchenko S.S., Vakhnina O.V., Klochkov M.Yu. Calculation of Shells of Revolution with the Use of a Mixed FEM with a Vector Approximation Procedure // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2024. Vol. 53. Issue 1. Pp. 10–21. DOI: 10.1134/S1052-618824010059. EDN HHDCXB.

22. Сагдатуллин М.К. Численное моделирование процессов нелинейного деформирования оболочек средней толщины // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2023. Т. 19. № 2. С. 130–148. DOI: 10.22363/1815-5235-2023-19-2-130-148. EDN KNCSOD.

23. Каюмов Р.А. Большие прогибы, потеря устойчивости и закритическое поведение пологих панелей и арок переменной толщины на упругом основании // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2024. № 2. С. 33–41. DOI: 10.15593/perm.mech/2024.2.04. EDN KFDQBX.

24. Liew K.M., Lim C.W. Vibration of perforated doubly-curved shallow shells with rounded corners // International Journal of Solids and Structures. 1994. Vol. 31. Issue 11. Pp. 1519–1536. DOI: 10.1016/0020-7683(94)90012-4

25. Young P.G., Yuan J., Dickinson S.M. Three-Dimensional Analysis of the Free Vibration of Thick Rectangular Plates With Depressions, Grooves or Cut-Outs // Journal of Vibration and Acoustics. 1996. Vol. 118. Issue 2. Pp. 184–189. DOI: 10.1115/1.2889647

26. Qatu M.S. Effect of inplane edge constraints on natural frequencies of simply supported doubly curved shallow shells // Thin-Walled Structures. 2011. Vol. 49. Issue 7. Pp. 797–803. DOI: 10.1016/j.tws.2011.01.001. EDN OENDQJ.

27. Lam K.Y., Hung K.C., Chow S.T. Vibration analysis of plates with cutouts by the modified Rayleigh-Ritz method // Applied Acoustics. 1989. Vol. 28. Issue 1. Pp. 49–60. DOI: 10.1016/0003-682X(89)90030-3

28. Aljawhary M.H., Al-Gahtani H.J. Boundary-type Ritz method for the analysis of arbitrarily shaped polygonal plates // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2021. Vol. 130. Pp. 124–134. DOI: 10.1016/j.enganabound.2021.05.008. EDN XXUFIY.

29. Milazzo A., Guarino G., Gulizzi V. Buckling and post-buckling of variable stiffness plates with cutouts by a single-domain Ritz method // Thin-Walled Structures. 2023. Vol. 182. P. 110282. DOI: 10.1016/j.tws.2022.110282. EDN YXGIOP.

30. Karpov V.V., Kobelev E.A., Maslennikov A.M., Panin A.N. Ritz method in the discrete approximation of displacements for slab calculation // Architecture and Engineering. 2023. Vol. 8. Issue 4. Pp. 57–67. DOI: 10.23968/2500-0055-2023-8-4-57-67. EDN FTPEME.

31. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Влияние осесимметричных начальных неправильностей сферической оболочки на ее критическую нагрузку // Известия МГТУ МАМИ. 2008. № 1 (5). С. 233–246. EDN LDMOJF.

32. Колесников А.Г., Иванов А.А. Напряженно-деформированное состояние пологой оболочки на упругом основании с переменными прочностными характеристиками // Известия Юго-Западного государственного университета. 2023. Т. 27. № 3. С. 21–33. DOI: 10.21869/2223-1560-2023-27-3-21-33. EDN UGXEKY.

33. Ступишин Л.Ю., Никитин К.Е. Численное исследование вынужденных колебаний ортотропных геометрически нелинейных пологих оболочек с использованием метода конечных элементов в смешанной форме // Промышленное и гражданское строительство. 2017. № 6. С. 28–33. EDN YUBOMD.

34. Голоскоков Д.П., Матросов А.В. Метод начальных функций в расчете изгиба защемленной по контуру тонкой ортотропной пластинки // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2021. Т. 17. № 4. С. 330–344. DOI: 10.21638/11701/spbu10.2021.402. EDN RIFCWU.

35. Тебякин А.Д., Крысько А.В., Жигалов М.В., Крысько В.А. Упругопластическое деформирование нано-пластин. Метод вариационных итераций (расширенный метод Канторовича) // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22. № 4. С. 494–505. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-4-494-505. EDN KFJVBH.

36. Чесноков А.В., Михайлов В.В. Методика определения требуемого соотношения мембранных напряжений в тентовой оболочке арочного типа // Известия Юго-Западного государственного университета. 2024. Т. 28. № 2. С. 37–55. DOI: 10.21869/2223-1560-2024-28-2-37-55. EDN LCSYWD.

37. Yiotis A.J., Katsikadelis J.T. Buckling of cylindrical shell panels: a MAEM solution // Archive of Applied Mechanics. 2015. Vol. 85. Issue 9–10. Pp. 1545–1557. DOI: 10.1007/s00419-014-0944-9

38. Хайруллин Ф.С., Сахбиев О.М. Упругопластический расчет оболочек вариационным методом на основе полиномов высокой степени // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2023. Т. 19. № 4. С. 349–361. DOI: 10.22363/1815-5235-2023-19-4-349-361. EDN WYVDDH.

39. Нетребко А.В., Пшеничнов С.Г. Нестационарная динамическая задача для линейно-вязко-упругой цилиндрической оболочки конечной длины // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. № 4. С. 63–79. EDN TDVEUR.

40. Okonechnikov A.S., Tarlakovsky D.V., Fedotenkov G.V. Spatial Non-Stationary Contact Problem for a Cylindrical Shell and Absolutely Rigid Body // Mechanics of Solids. 2020. Vol. 55. Issue 3. Pp. 366–376. DOI: 10.3103/S0025654420030127. EDN MRHREO.

41. Hosseini S., Rahimi G. Experimental and numerical analysis of hyperelastic plates using Mooney-Rivlin strain energy function and meshless collocation method // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2023. Vol. 150. Pp. 199–218. DOI: 10.1016/j.enganabound.2023.02.024

42. Коровайцева Е.А. О некоторых особенностях решения задач статики мягких оболочек вращения при больших деформациях // Труды МАИ. 2020. № 114. С. 3. DOI: 10.34759/trd-2020-114-04. EDN YYRPAW.

43. Бакусов П.А., Семенов А.А. Анализ устойчивости вычислительного алгоритма к изменению геометрических параметров цилиндрических оболочечных конструкций // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2021. № 1. С. 12–21. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.1.02. EDN ZIPFYC.

44. Мишуренко Н.А., Семенов А.А. Устойчивость пологих оболочек двоякой кривизны с учетом наличия дискретно вводимых ослаблений // Известия КГАСУ. 2023. № 3 (65). С. 6–17. DOI: 10.52409/20731523_2023_3_6. EDN ASJURD.

45. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения. Ч. 1. Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения. М. : Физматлит, 2010. 285 с.

46. Vescovini R., Dozio L., D’Ottavio M., Polit O. On the application of the Ritz method to free vibration and buckling analysis of highly anisotropic plates // Composite Structures. 2018. Vol. 192. Pp. 460–474. DOI: 10.1016/j.compstruct.2018.03.017

47. Van Campen D.H., Bouwman V.P., Zhang G.Q., Zhang J., ter Weeme B.J.W. Semi-analytical stability analysis of doubly-curved orthotropic shallow panels — considering the effects of boundary conditions // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2002. Vol. 37. Issue 4–5. Pp. 659–667. DOI: 10.1016/S00207462(01)-00090-7

48. Смердов А.А., Буянов И.А., Чуднов И.В. Анализ оптимальных сочетаний требований к разрабатываемым углепластикам для крупногабаритных ракетно-космических конструкций // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2012. № 8. С. 70–77. EDN PBJFXB.

49. Цепенников М.В., Повышев И.А., Сметанников О.Ю. Верификация численной методики расчета разрушения конструкций из композиционных материалов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Прикладная математика и механика. 2012. № 10. С. 225–241. EDN PIEZDT.

50. Wang X. Nonlinear stability analysis of thin doubly curved orthotropic shallow shells by the differential quadrature method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2007. Vol. 196. Issue 17–20. Pp. 2242–2251. DOI: 10.1016/j.cma.2006.11.009. EDN MKDNZV.

51. Karpov V.V., Semenov A.A. Refined model of stiffened shells // International Journal of Solids and Structures. 2020. Vol. 199. Pp. 43–56. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2020.03.019. EDN PNZVAI.

52. Semenov A.A. Strength and stability of geometrically nonlinear orthotropic shell structures // Thin-Walled Structures. 2016. Vol. 106. Pp. 428–436. DOI: 10.1016/j.tws.2016.05.018. EDN WVMNLF.

53. Петров Д.С., Семенов А.А. Анализ устойчивости ортотропной цилиндрической оболочечной конструкции в программном комплексе ANSYS Mechanical APDL // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2023. Т. 23. № 3. С. 618–627. DOI: 10.17586/2226-1494-2023-23-3-618-627. EDN IIAIEZ.