Использование интегро-дифференциальных уравнений для моделирования распространения сейсмических волн через барьер с эффектом памяти

Введение. Рассматривается распространение сейсмических волн через барьер с эффектом памяти на основе интегро-дифференциальных уравнений. Классические волновые модели, основанные на упругих уравнениях, зачастую не учитывают вязкоупругие свойства реальных грунтов и сейсмических барьеров, обладающих способностью «запоминать» предшествующие деформации. Для более точного описания явления используется интегро-дифференциальная модель с экспоненциальным ядром памяти, позволяющая моделировать широкий спектр диссипативных эффектов и получать аналитические решения, применимые для задач сейсмической защиты.

Материалы и методы. Модель основана на интегро-дифференциальных уравнениях движения, учитывающих историю деформации и релаксацию материала. С целью получения аналитических решений применяются прямые и обратные преобразования Фурье и Лапласа. Исследованы две формы импульсов — дельта-функция и гауссов импульс.

Результаты. При дельта-импульсе в среде с памятью формируются дополнительные «хвосты» и всплески, а параметры ядра (α и β) влияют на скорость «забывания» и ее интенсивность. Для гауссова импульса при введении эффектов памяти волна плавнее «расплывается», однако также приобретает дополнительные искажения, особенно при больших значениях α и при медленном затухании памяти β. В обоих случаях показано, что, управляя величинами α и β, возможно существенно менять характер взаимодействия, получая либо резкий локальный пик, либо более сглаженное распределение с выраженным энергорассеянием.

Выводы. Проведенное исследование демонстрирует важность учета «эффекта памяти» при моделировании сейсмических барьеров. Интегро-дифференциальные уравнения с экспоненциальным ядром позволяют точнее описывать процессы затухания, рассеяния энергии и трансформации формы сейсмических волн в реальных грунтовых условиях. Полученные аналитические решения служат основой для проектирования более эффективных сейсмических барьеров, способных «настраиваться» под нужный диапазон частот колебаний.

1. Kuznetsov S.V. Seismic waves and seismic barriers // Acoustical Physics. 2011. Vol. 57. Issue 3. Pp. 420–426. DOI: 10.1134/S1063771011030109

2. Kuznetsov S.V. Acoustic black hole in a hyperelastic rod // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2023. Vol. 74. Issue 3. DOI: 10.1007/s00033-023-02020-x

3. Bratov V., Murachev A., Kuznetsov S.V. Utilization of a Genetic Algorithm to Identify Optimal Geometric Shapes for a Seismic Protective Barrier // Mathematics. 2024. Vol. 12. Issue 3. P. 492. DOI: 10.3390/math12030492

4. Shemali A.A., Javkhlan S., Kuznetsov S. Seismic protection from bulk and surface waves // AIP Conference Proceedings. 2023. Vol. 2759. P. 030006. DOI: 10.1063/5.0103993

5. Dudchenko A.V., Dias D., Kuznetsov S.V. Vertical wave barriers for vibration reduction // Archive of Applied Mechanics. 2021. Vol. 91. Issue 1. Pp. 257–276. DOI: 10.1007/s00419-020-01768-2

6. Митрошин В.А. Сейсмическая защита зданий и сооружений с применением метаматериалов: текущее состояние и перспективы развития // Архитектура, строительство, транспорт. 2024. № 2 (108). С. 67–83. DOI: 10.31660/2782-232X-2024-2-67-83. EDN FRXXXI.

7. Григорьев Ю.М., Гаврильева А.А. Задача распространения поверхностной волны Релея в полупространстве среды Коссера в случае однородных и упруго-стесненных граничных условий // Математические заметки СВФУ. 2023. Т. 30. № 4. С. 81–105. DOI: 10.25587/2411-9326-2023-4-81-104. EDN CWGERM.

8. Заславский Ю.М., Заславский В.Ю. Анализ сейсмических колебаний, возбуждаемых движущимся железнодорожным составом // Вычислительная механика сплошных сред. 2021. Т. 14. № 1. С. 91–101. DOI: 10.7242/1999-6691/2021.14.1.8. EDN FYADJZ.

9. Огородников Е.Н., Радченко В.П., Унгарова Л.Г. Математические модели нелинейной вязкоупругости с операторами дробного интегро-дифференцирования // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2018. № 2. С. 147–161. DOI: 10.15593/perm.mech/2018.2.13. EDN XUGGDZ.

10. Bykov D.L., Martynova E.D. Structure-energy analysis of models of nonlinearly viscoelastic materials with several aging and viscosity functions // Mechanics of Solids. 2011. Vol. 46. Issue 1. Pp. 52–61. DOI: 10.3103/S0025654411010080

11. Korovaytseva E.A., Pshenichnov S.G., Zhelyazov T., Datcheva M. On the Problem of Nonstationary Waves Propagation in a Linear-viscoelastic Layer // Comptes Rendus de l’Academie Bulgare des Sciences. 2021. Vol. 74. No. 5. Pp. 748–755. DOI: 10.7546/CRABS.2021.05.13

12. Hossain M.E. Numerical investigation of memory-based diffusivity equation: the integro-differential equation // Arabian Journal for Science and Engineering. 2016. Vol. 41. Issue 7. Pp. 2715–2729. DOI: 10.1007/s13369-016-2170-y

13. Rangelov T.V., Dineva P.S., Manolis G.D. Numerical Solution of Integro-Differential Equations Modelling the Dynamic Behavior of a Nano-Cracked Viscoelastic Half-Plane // Cybernetics and Information Technologies. 2020. Vol. 20. Issue 6. Pp. 105–115. DOI: 10.2478/cait-2020-0065

14. Emmrich E., Weckner O. Analysis and numerical approximation of an integro-differential equation modeling non-local effects in linear elasticity // Mathematics and Mechanics of Solids. 2007. Vol. 12. Issue 4. Pp. 363–384. DOI: 10.1177/1081286505059748

15. Dehghan M. Solution of a partial integro-differential equation arising from viscoelasticity // International Journal of Computer Mathematics. 2006. Vol. 83. Issue 1. Pp. 123–129. DOI: 10.1080/00207160-500069847

16. Neta B., Igwe J.O. Finite differences versus finite elements for solving nonlinear integro-differential equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1985. Vol. 112. Issue 2. Pp. 607–618. DOI: 10.1016/0022-247X(85)90266-5

17. Guo J., Xu D., Qiu W. A finite difference scheme for the nonlinear time‐fractional partial integro‐differential equation // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2020. Vol. 43. Issue 6. Pp. 3392–3412. DOI: 10.1002/mma.6128

18. Sokolovskyy Y., Levkovych M., Mokrytska O., Kaplunskyy Y. Numerical Simulation and Analysis of Systems with Memory Based on Integro-Differentiation of Fractional Order // 2018 IEEE 13th International Scientific and Technical Conference on Computer Sciences and Information Technologies (CSIT). 2018. Pp. 102–105. DOI: 10.1109/STC-CSIT.2018.8526702

19. Vlasov V.V., Rautian N.A. Well-Posed Solvability and the Representation of Solutions of Integro-Differential Equations Arising in Viscoelasticity // Differential Equations. 2019. Vol. 55. Issue 4. Pp. 561–574. DOI: 10.1134/S0012266119040141

20. Власов В.В., Раутиан Н.А. Исследование интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости // Известия высших учебных заведений. Математика. 2012. № 6. С. 56–60. EDN OWQBVF.

21. Vlasov V.V., Rautian N.A. Spectral analysis and representation of solutions of integro-differential equations with fractional exponential kernels // Transactions of the Moscow Mathematical Society. 2019. Vol. 80. Pp. 169–188. DOI: 10.1090/mosc/298. EDN CBRRRV.

22. Дурдиев Д.К., Болтаев А.А. Задача определения ядер в двумерной системе уравнений вязкоупругости // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. 2023. Т. 43. С. 31–47. DOI: 10.26516/1997-7670.2023.43.31. EDN QENKLT.

23. Bobyleva T., Shamaev A. Problem of damping oscillations of a mechanical system with integral memory // IOP Conference Series : Materials Science and Engineering. 2020. Vol. 869. Issue 2. P. 022011. DOI: 10.1088/1757-899X/869/2/022011

24. Коровайцева Е.А., Пшеничнов С.Г., Бажлекова Е., Желязов Т. Нестационарные волны в линейно-вязкоупругом цилиндре с жестким включением // Проблемы прочности и пластичности. 2022. Т. 84. № 1. С. 5–14. DOI: 10.32326/1814-9146-2022-84-1-5-14. EDN XQNIFO.

25. Li Y., Yang Z. Exponential Attractor for the Viscoelastic Wave Model with Time-Dependent Memory Kernels // Journal of Dynamics and Differential Equations. 2021. DOI: 10.1007/s10884-021-10035-z. EDN ENBUOO.

26. Brunner H. Volterra integral equations. Cambridge University Press, 2017. DOI: 10.1017/9781316162491

27. Schiff J.L. The Laplace transform: theory and applications. Springer Science & Business Media, 2013. 236 p.

28. Bracewell R.N. The Fourier Transform and Its Applications. 3rd ed. Boston : McGraw-Hill, 2000. 640 p.

29. Cohen A.M. Inversion formulae and practical results // Numerical Methods and Algorithms. 2007. Vol. 5. Pp. 23–44. DOI: 10.1007/978-0-387-68855-8_2

30. Folland G.B. Fourier Analysis and Its Applications. American Mathematical Soc., 2009. 433 p.

31. Cole K.D., Beck J.V., Haji-Sheikh A., Litkouhi B. Methods for Obtaining Green’s Functions // Heat Conduction Using Greens Functions. 2011. Pp. 101–148. DOI: 10.1201/9781439895214-9