Реализация эквипотенциальных поверхностей в структурно-неоднородных стержнях при вариационных постановках задач оптимизации

Введение. Рассмотрена вариационная постановка задачи оптимизации геометрической конфигурации слоисто-неоднородного стержня при условии постоянства суммарной стоимости материалов. В качестве критерия оптимальности принят интегральный критерий минимума энергии деформации при варьировании геометрических функций, профилирующих слои стержня. В настоящее время данный подход, применяемый в однородных системах, требует развития и распространения на сложные неоднородные среды, разработки методики использования в строительных конструкциях.

Материалы и методы. С применением математической модели стержня Тимошенко приведены формулы для основных компонент напряжений и жесткостных характеристик нулевого, первого и второго порядков. Сформулированы энергетический функционал и ограничение на суммарную стоимость материалов. Получены уравнения Эйлера при варьировании геометрических функций.

Результаты. Решены задачи оптимизации слоистого стержня при варьировании ширины и толщины слоев для симметричной и произвольной структур. Исследованы случаи изгиба, растяжения, поперечного сдвига и совместного изгиба с растяжением. Аналитически доказано, что во всех рассмотренных случаях в системе формируются поверхности с равным уровнем удельной энергии деформации. Показано, что изопериметрическая вариационная постановка приводит к минимальной стоимости материалов конструкции.

Выводы. Вариационная постановка с одним ограничением на суммарную стоимость материалов, необходимым по смыслу задачи, дает глобальный минимум функционала энергии деформации и стоимости материалов системы и отражает так называемый эталонный проект. Знание такого проекта является ценным и полезным с практической точки зрения. В оптимальной системе формируются эквипотенциальные поверхности с одинаковым значением удельной энергии деформации. Их форма и расположение определяются действующими усилиями и структурой системы. Из интегрального энергетического критерия вытекают практические критерии выравнивания удельной энергии деформации, а также основного напряжения либо деформации на поверхностях областей с варьируемыми размерами.

1. Перельмутер А.В. Задачи синтеза в теории сооружений (краткий исторический обзор) // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2016. № 2 (55). С. 70–106. EDN VSTVRX.

2. Юрьев А.Г., Панченко Л.А. Энергетическое начало в теории синтеза конструкций // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2023. № 10. С. 35–41. DOI: 10.34031/2071-7318-2023-8-10-35-41. EDN SGKZNZ.

3. Yankovskii A.P. Refined Modeling of Flexural Deformation of Layered Plates with a Regular Structure Made from Nonlinear Hereditary Materials // Mechanics of Composite Materials. 2018. Vol. 53. Issue 6. Pp. 705–724. DOI: 10.1007/s11029-018-9697-9. EDN XXUTAL.

4. Yankovskii A.P. Critical Analysis of the Equations of Statics in the Bending Theories of Composite Plates Obtained on the Basis of Variational Principles of Elasticity Theory 1. General Theories of High Order // Mechanics of Composite Materials. 2020. Vol. 56. Issue 3. Pp. 271–290. DOI: 10.1007/s11029-020-09880-8. EDN ASGJMZ.

5. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. М. : Наука, 1982. 432 с.

6. Юрьев А.Г. Вариационные постановки задач структурного синтеза в статике сооружений. М. : МИСИ, 1987. 94 с.

7. Ляхович Л.С., Перельмутер А.В. Некоторые вопросы оптимального проектирования строительных конструкций // Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. 2014. Т. 10. № 2. С. 14–23. EDN SXCOQB.

8. Васильков Г.В. Эволюционные задачи строительной механики. Синергетическая парадигма. Ростов н/Д. : ИнфоСервис, 2003. EDN QNKGAT.

9. Гольдштейн Ю.Б., Соломещ М.А. Вариационные задачи статики оптимальных стержневых систем. Л. : Изд-во ЛГУ, 1980. 208 с.

10. Мищенко А.В., Вешкин М.С. Применение критерия минимума энергии деформации в задачах рационального профилирования неоднородных стержней // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2025. № 5 (797). С. 15–29. DOI: 10.32683/0536-1052-2025-797-5-15-29. EDN TCEUPL.

11. Юрьев А.Г., Нужный С.Н. Оптимизация топологии однопролетных одноэтажных рам // Фундаментальные исследования. 2013. № 10–4. С. 742–746. EDN RCHQFH.

12. Ebrahimi M., Fakoor M. Design-oriented fracture criteria for orthotropic composites based on minimum strain energy density theory // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2025. Vol. 140. P. 105182. DOI: 10.1016/j.tafmec.2025.105182. EDN EHNYRE.

13. Beck R., da Silva Ja.A.P., da Silva L.Fm., Tita V., de Medeiros R. Assessing critical fracture energy in mode I for bonded composite joints: A numerical–experimental approach with uncertainty analysis // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part L: Journal of Materials: Design and Applications. 2024. DOI: 10.1177/14644207241229601. EDN QPBVWG.

14. Ляхович Л.С. Особые свойства оптимальных систем и основные направления их реализации в методах расчета сооружений. Томск : Изд-во ТГАСУ, 2009. 371 с. EDN QNOOHF.

15. Wenzel C., Vidal P., D’Ottavio M., Polit O. Coupling of heterogeneous kinematics and Finite Element approximations applied to composite beam structures // Composite Structures. 2014. Vol. 116. Pp. 177–192. DOI: 10.1016/j.compstruct.2014.04.022

16. Biscani F., Giunta G., Belouettar S., Carrera E., Hu H. Variable kinematic beam elements coupled via Arlequin method // Composite Structures. 2011. Vol. 93. Issue 2. Pp. 697–708. DOI: 10.1016/j.compstruct.2010.08.009. EDN OEMSBZ.

17. Vidal P., Polit O. A family of sinus finite elements for the analysis of rectangular laminated beams // Composite Structures. 2008. Vol. 84. Issue 1. Pp. 56–72. DOI: 10.1016/j.compstruct.2007.06.009. EDN KUKZVN.

18. Liu S., Soldatos K.P. On the prediction improvement of transverse stress distributions in cross-ply laminated beams: advanced versus conventional beam modelling // International Journal of Mechanical Sciences. 2002. Vol. 44. Issue 2. Pp. 287–304. DOI: 10.1016/S0020-7403(01)00098-4

19. Matsunaga H. Interlaminar stress analysis of laminated composite beams according to global higher-order deformation theories // Composite Structures. 2002. Vol. 55. Issue 1. Pp. 105–114. DOI: 10.1016/S0263-8223(01)00134-9

20. Tahani M. Analysis of laminated composite beams using layerwise displacement theories // Composite Structures. 2007. Vol. 79. Issue 4. Pp. 535–547. DOI: 10.1016/j.compstruct.2006.02.019. EDN KULDMX.

21. Gorynin A.G., Gorynin G.L., Golushko S.K. Mathematical Modeling of Three-dimensional Stress-strain State of Homogeneous and Composite Cylindrical Axisymmetric Shells // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 2024. Vol. 17. Issue 1. Pp. 27–37. EDN IRZWVG.

22. Hu H., Belouettar S., Potier-Ferry M., Daya E.M., Makradi A. Multi-scale nonlinear modelling of sandwich structures using the Arlequin method // Composite Structures. 2010. Vol. 92. Issue 2. Pp. 515–522. DOI: 10.1016/j.compstruct.2009.08.051

23. Atashipour S.R., Challamel N., Girhammar U.A., Folkow P.D. Flexible N-layer composite beam/column elements with interlayer partial interaction imperfection — a novel approach to structural stability and dynamic analyses // Composite Structures. 2025. Vol. 367. P. 119219. DOI: 10.1016/j.compstruct.2025.119219. EDN HBOLFG.

24. Мищенко А.В. Методы расчета и рационального проектирования структурно неоднородных стержней. Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2025. 146 с. EDN AWFVQL.

25. Мищенко А.В. Напряженное состояние структурно-неоднородных стержней из разномодульных материалов при термосиловом воздействии // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2016. № 4. С. 43–52. EDN WCEXDF.

26. Wasiutynski Z. On the congruency of the forming according to the minimum potential energy with that according to the equal strength // Bull. Acad. Pol. Sci. Tech. 1960. Vol. 8. Issue 6. Pp. 259–268.

27. Мищенко А.В., Кучеренко И.В. О соответствии общефизических и технико-экономических критериев оптимизации механических систем // Инновационные технологии укрепления грунтовых массивов на транспортных коммуникациях в сложных геологических условиях : мат. Всеросс. науч.-практ. конф. 2025. С. 183–191. EDN ZDLFSL.

28. Немировский Ю.В. Равнопрочные слоистые упругие арки и балки // Известия высших учебных заведений. Строительство. 1996. № 8. С. 20–25. EDN XPVISD.