Гармонический осциллятор Дуффинга. Эволюция аттрактора

Введение. Рассмотрена задача анализа нелинейных колебаний гармонического осциллятора Дуффинга, актуальная для оценки устойчивости механических и строительных систем с упругими и демпфирующими элементами. Актуальность исследования обусловлена необходимостью описания переходов от регулярных колебаний к хаосу в элементах сейсмоизоляции и виброзащиты зданий. Новизна работы заключается в применении метода Розенштейна для количественной оценки экспонентоподобной величины e1 вместо традиционного визуального анализа, использованного в классических исследованиях Ю. Уэды (1979).

Материалы и методы. Математическая модель осциллятора описывается уравнением ẍ + kẋ + x3 = Bcos(ωt). Численное решение получено в среде MATLAB с применением пакета «+ueda». Для анализа динамики построены сечения Пуанкаре и рассчитаны экспонентоподобные величины e1 методом Розенштейна, основанном на отслеживании расхождения траекторий в реконструированном фазовом пространстве.

Результаты. Показано, что при увеличении амплитуды возбуждения B (при k = 0,10) система переходит от периодических режимов к хаотическим через квазипериодичность. При увеличении демпфирования k (при B = 12,0) наблюдается обратный процесс — постепенное подавление хаоса и возвращение к регулярным колебаниям. Построены зависимости e1(B) и e1(k), уточняющие границы переходов к хаосу по сравнению с данными Ю. Уэды. Метод Розенштейна позволил количественно подтвердить наличие критических интервалов Bc = 11,9–12,2 и kc = 0,26–0,30.

Выводы. Результаты исследования подтвердили применимость метода Розенштейна для количественной идентификации хаотических режимов в системах Дуффинга. Полученные данные уточняют границы переходов, согласуясь с классическими работами, и могут быть использованы при проектировании сейсмоизоляторов и вибродемпфирующих устройств, где необходимо избегать хаотических колебаний.

1. Nayfeh A.H., Mook D.T. Nonlinear Oscillations. Wiley, 1979.

2. Strogatz S.H. Nonlinear Dynamics and Chaos. CRC Press, 2018. DOI: 10.1201/9780429492563

3. Tanekou S.Ts., Ramadoss Ja., Kengne Ja., Kenmoe G.D., Rajagopal K. Coexistence of Periodic, Chaotic and Hyperchaotic Attractors in a System Consisting of a Duffing Oscillator Coupled to a van der Pol Oscillator // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2023. Vol. 33. Issue 2. DOI: 10.1142/S0218127423300045. EDN XALVGC.

4. Kuznetsov S.V. Forced harmonic vibrations of duffing oscillator with cubic-quintic spring nonlinearity // Chaos, Solitons & Fractals. 2025. Vol. 199. Issue 1. DOI: 10.1016/j.chaos.2025.116699. EDN KKPYUH.

5. Da L., Soares I., Krol M.F., Rech P.C. Coexisting attractors and basins of attraction of an extended forced Duffing oscillator // The European Physical Journal B. 2024. Vol. 97. Issue 6. P. 71. DOI: 10.1140/epjb/s10051-024-00709-0. EDN JWBVIF.

6. Moon F.C. Chaotic Vibrations: An Introduction for Applied Scientists and Engineers. Wiley, 1987.

7. Kovacic I., Brennan M.J. The Duffing Equation. Wiley, 2011. DOI: 10.1002/9780470977859

8. Thompson J.M.T., Stewart H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos: Geometrical Methods for Engineers and Scientists. Wiley, 2002.

9. Rand R.H. Lecture Notes on Nonlinear Vibrations. Cornell University, 2005.

10. Chen G., Ueta T. Chaos in Circuits and Systems // World Scientific Series on Nonlinear Science Series B. 2002. DOI: 10.1142/4945

11. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields // Applied Mathematical Sciences. 1983. DOI: 10.1007/978-1-4612-1140-2

12. Montenegro Joo J. Evolution of the Lyapunov Exponent during a Chaotic Event in the Nonlinear Damped and Forced Oscillator // Chaos and Complexity Letters. 2022. Vol. 16. Issue 1.

13. Abohamer Mk., Amer Ts., Arab A., Galal Aa. Analyzing the chaotic and stability behavior of a duffing oscillator excited by a sinusoidal external force // Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control. 2024. Vol. 44. Issue 2. Pp. 969–986. DOI: 10.1177/14613484241298998. EDN PUDJES.

14. Ueda Y. Randomly transitional phenomena in the system governed by Duffing’s equation // Journal of Statistical Physics. 1979. Vol. 20. Issue 2. Pp. 181–196. DOI: 10.1007/bf01011512. EDN WDFUCD.

15. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1985. Vol. 16. Issue 3. Pp. 285–317. DOI: 10.1016/0167-2789(85)90011-9

16. Kantz H., Schreiber T. Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press, 2004. DOI: 10.1017/cbo9780511755798

17. Rosenstein M.T., Collins J.J., De Luca C.J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 65. Issue 1–2. Pp. 117–134. DOI: 10.1016/0167-2789(93)90009-p

18. Gao J.B., Zheng Z., Sanjuán M.A.F. Chaos Theory and Complex Systems. Springer, 2020.

19. Luongo A., Zulli D. Nonlinear dynamic models for seismic isolation systems // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2014. Vol. 58. Pp. 156–166.

20. Casciati F., Rodellar J. Smart Structures: Innovative Systems for Seismic Response Control. WIT Press, 2011.