Модификация функции диссипации Рэлея для численного моделирования внутреннего демпфирования в стержневых конструкциях

Введение. Предлагается методика учета диссипации энергии для балки Тимошенко путем построения при численном решении задачи матрицы демпфирования на основе модифицированной функции Рэлея. В этой модификации скорость перемещений заменена скоростями линейных и угловых деформаций. Такой подход позволяет учесть рассеяние энергии за счет внутреннего трения в материале при изменении как его объема, так и формы. Представленная методика является перспективной в практических расчетах конструкций, когда сдвиговая жесткость оказывает существенное влияние на их напряженно-деформированное состояние.

Материалы и методы. Рассмотрены несколько апробированных методов учета диссипации энергии, в том числе позволяющих учесть потерю энергии движущейся конструкции при трении о внешнюю среду (внешнее демпфирование) и диссипацию за счет трения в материале конструкции, деформируемой в движении (внутреннее демпфирование). Приводятся методики определения коэффициентов демпфирования для каждого из них. Для расчета стержневых систем используется метод конечных элементов. Матрицы демпфирования выводятся из условия стационарности полной энергии деформирования механической системы в движении, в том числе с учетом скоростей линейных и угловых деформаций.

Результаты. Приведены матрицы демпфирования, пропорциональные скоростям деформаций, полученные на основе модифицированной диссипативной функции Рэлея. Предложена методика определения коэффициента демпфирования с учетом скоростей угловых деформаций.

Выводы. Рассмотренные матрицы демпфирования описывают диссипацию энергии при колебаниях механических систем за счет внутреннего трения в материале. Матрица внутреннего демпфирования получена с учетом влияния скоростей линейных и угловых деформаций для моделирования динамического поведения коротких изгибаемых элементов конструкций, при описании деформирования которых применяется модель Тимошенко. Выполненная проверка размерностей дополнительно подтверждает корректность построения матрицы демпфирования. При этом размерность предложенного коэффициента демпфирования с учетом сдвига такая же, как у широко используемого коэффициента вязкости.

1. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. М. : Мир, 1976. 669 с.

2. Сидоров В.Н., Бадьина Е.С., Детина Е.П. Численное моделирование колебаний композитных рамных конструкций с учетом демпфирования, нелокального во времени // Механика композиционных материалов и конструкций. 2022. Т. 28. № 4. С. 543–552. DOI: 10.33113/mkmk.ras.2022.28.04.543_552.08. EDN ATPNWH.

3. Bazoune A. Combined influence of rotary inertia and shear coefficient on flexural frequencies of Timoshenko beam: numerical experiments // Acta Mechanica. 2023. Vol. 234. Issue 10. Pp. 4997–5013. DOI: 10.1007/s00707-023-03648-6

4. Onyia M.E., Rowland-Lato E.O. Finite Element Analysis of Timoshenko Beam Using Energy Separation Principle // International Journal of Engineering Research and Technology. 2020. Vol. 13. Issue 1. P. 28. DOI: 10.37624/ijert/13.1.2020.28-35

5. Дудаев М.А. Матрица жесткости балки Тимошенко в конечно-элементном анализе динамического поведения роторных турбомашин // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2014. № 6 (89). С. 59–65. EDN SGIVXX.

6. Bathe K.J., Wilson E.L. Numerical methods in finite element analysis. Prentice-Hall Inc, 1976.

7. Sumali H., Carne T.G. Air-drag damping on micro-cantilever beams. Sandia National Laboratories M/S 1070Albuquerque, NM 87185-1070, 2007.

8. Рейнер М. Реология. М. : Наука. 1965. 223 с.

9. Shitikova M.V., Krusser A.I. Models of viscoelastic materials : a review on historical development and formulation // Advanced Structured Materials. 2022. Pp. 285–326. DOI: 10.1007/978-3-031-04548-6_14

10. Берендеев Н.Н., Зимин Н.В., Леонтьев Н.В., Любимов А.К., Смирнов И.А., Сторожев Е.В. Определение демпфирующих характеристик конструкции со сложной структурой // Проблемы прочности и пластичности. 2013. Т. 75. № 4. С. 323–331. EDN RWPMBH.

11. Arora V., Adhikari S., Vijayan K. FRF-based finite element model updating for non-viscous and non-proportionally damped systems // Journal of Sound and Vibration. 2023. Vol. 552. P. 117639. DOI: 10.1016/j.jsv.2023.117639

12. Сорокин Е.С. Метод учета неупругого сопротивления материала при расчете конструкций на колебания // Исследования по динамике сооружений. М. : Госстройиздат, 1951.

13. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М. : Гос. изд-во лит-ры по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1960. С. 130.

14. Barabash M.S., Pikul A.V. Material damping in dynamic analysis of structures // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 1970. Vol. 13. Issue 3. Pp. 13–18. DOI: 10.22337/1524-5845-2017-13-3-13-18

15. Потапов В.Д. Об устойчивости стержня при действии детерминированной и стохастической нагрузки с учетом нелокальной упругости и нелокального демпфирования материала // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2015. № 1. С. 9–16. EDN TKTLDH.

16. Sidorov V., Shitikova M., Badina E., Detina E. Review of nonlocal-in-time damping models in the dynamics of structures // Axioms. 2023. Vol. 12. Issue 7. P. 676. DOI: 10.3390/axioms12070676

17. Ghavanloo E., Shaat M. General nonlocal Kelvin–Voigt viscoelasticity: Application to wave propagation in viscoelastic media // Acta Mechanica. 2022. Vol. 233. Issue 1. Pp. 57–67. DOI: 10.1007/s00707-021-03104-3

18. Шепитько Е.С. Модель нелокального демпфирования материала при расчете стержневых элементов : дис. … канд. техн. наук. М., 2019. 119 с.

19. Sidorov V.N., Badina E.S., Detina E.P. Nonlocal in time model of material damping in composite structural elements dynamic analysis // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2021. Vol. 17. Issue 4. Pp. 14–21. DOI: 10.22337/2587-9618-2021-17-4-14-21

20. Сидоров В.Н., Бадьина Е.С. Метод конечных элементов в задачах устойчивости и колебаний стержневых конструкций: примеры расчетов в Mathcad и MATLAB : учебное пособие. М. : Изд-во АСВ, 2021. 173 с.