Формулы для двух первых частот собственных колебаний плоской фермы

Введение. Расчет частоты собственных колебаний входит в основу исследования динамики конструкций и базируется, как правило, на численных методах. В тех случаях, когда конструкция статически определима и имеет периодическую структуру, для оценки первой собственной частоты возможны и аналитические решения. Наиболее известны метод Рэлея для оценки частоты сверху и метод Донкерлея, дающий приближенную оценку снизу. Выводятся простые аналитические оценки зависимостей первых частот колебаний плоской фермы от числа панелей и параметров конструкции.

Материалы и методы. Балочная статически определимая ферма имеет подъем в средней части. Для аналитического расчета первой частоты собственных колебаний используется упрощенный вариант метода Донкерлея. Усилия в стержнях, входящие в формулу, рассчитываются в символьной форме методом вырезания узлов с применением стандартных операторов системы компьютерной математики Maple. Для установления жесткости конструкции применяется формула Максвелла – Мора. Предполагается, что масса фермы равномерно распределена по всем ее узлам. С целью обобщения последовательности отдельных решений для ферм различного порядка на произвольное число панелей используется метод индукции. Формула для второй собственной частоты получается методом трехточечной коллокации, исходя из условия подобия кривой зависимости первой частоты от числа панелей.

Результаты. Выведены формулы для двух первых частот собственных колебаний фермы. Аналитические решения сравниваются с численными, полученными для всего спектра частот. Показано, что с увеличением числа панелей точность аналитических решений растет.

Выводы. Аналитический метод оценки первой и второй частоты применим для решения задач о регулярных конструкциях. Преимущество метода состоит в независимости его точности от порядка регулярности конструкции. Простая форма результата позволяет использовать разработанный метод для выбора оптимальных параметров объекта без трудоемких компьютерных вычислений.

1. Коваленко Г.В., Макеев В.Б., Дементьева В.В. Исследование частот собственных колебаний ферм на основе метода конечных элементов (МКЭ) // Молодая мысль: Наука, технологии, инновации : мат. VII (XIII) Всеросс. науч.-техн. конф. студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых. 2015. С. 44–48. EDN WWZURN.

2. Seventekidis P., Giagopoulos D. Generalization gap estimation for damage classification tasks when finite element simulated data is used for training: A numerical study and experimental validation on a steel truss // Engineering Structures. 2024. Vol. 319. P. 118855. DOI: 10.1016/j.engstruct.2024.118855

3. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В. Метод конечных элементов в форме классического смешанного метода строительной механики (теория, математические модели и алгоритмы). М. : Издательство АСВ, 2022. 306 с. EDN CSOLBF.

4. Rapp B.E. Introduction to Maple // Microfluidics: Modelling, Mechanics and Mathematics. 2017. Pp. 9–20. DOI: 10.1016/b978-1-4557-3141-1.50002-2

5. Zotos K. Performance comparison of Maple and Mathematica // Applied Mathematics and Computation. 2007. Vol. 188. Issue 2. Pp. 1426–1429. DOI: 10.1016/j.amc.2006.11.008

6. Goloskokov D.P. Analyzing simply supported plates using maple system // 2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA). 2014. Pp. 55–56. DOI: 10.1109/ICCTPEA.2014.6893273

7. Goloskokov D.P., Matrosov A.V. Approximate analytical solutions in the analysis of thin elastic plates // AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 1959. P. 070012. DOI: 10.1063/1.5034687

8. Matrosov A.V., Suratov V.A. Stress-strain state in the corner points of a clamped plate under uniformly distributed normal load // Materials Physics and Mechanics. 2018. Vol. 36. Issue 1. Pp. 124–146. DOI: 10.18720/MPM.3612018_16. EDN XOBJZJ.

9. Кирсанов М.Н. Плоские фермы. Прогибы и частоты колебаний : справочник. М. : ИНФРА-М, 2025. 196 с. DOI: 10.12737/2173835. EDN FRTTXN.

10. Sviridenko O.V., Komerzan E.V. The dependence of the natural oscillation frequency of the console truss on the number of panels // Construction of Unique Buildings and Structures. 2022. Nо. 3 (101). P. 10101. DOI: 10.4123/CUBS.101.1. EDN CKQDPU.

11. Лыонг Конг Л. Зависимость области резонансно безопасных частот от размеров статически определимой плоской фермы // Строительная механика и конструкции. 2024. № 2 (41). С. 16–26. DOI: 10.36622/2219-1038.2024.41.2.002. EDN AKAVDU.

12. Луан Л.К. Оценки прогиба и частоты собственных колебаний шарнирно-стержневой рамы с произвольным числом панелей // Строительная механика и конструкции. 2024. № 4 (43). С. 42–53. DOI: 10.36622/2219-1038.2024.43.4.004. EDN MGQUXN.

13. Luong C.L. Resonance safety zones of a truss structure with an arbitrary number of panels // Construction of Unique Buildings and Structures. 2024. Nо. 4 (113). P. 11304. DOI: 10.4123/CUBS.113.4. EDN FLBVJY.

14. Астахов С.В. Аналитическая оценка прогиба стержневой модели каркаса четырехскатного покрытия // Строительная механика и конструкции. 2024. № 4 (43). С. 34–41. DOI: 10.36622/2219-1038.2024.43.4.003. EDN GITKYF.

15. Maslov A.N. The first natural frequency of a planar regular truss. Analytical solution // Construction of Unique Buildings and Structures. 2023. Nо. 4 (109). P. 10912. DOI: 10.4123/CUBS.109.12. EDN QNZNZW.

16. Комерзан Е.В., Маслов А.Н. Оценка основной частоты колебаний Г-образной пространственной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). С. 35–45. DOI: 10.36622/VSTU.2023.37.2.004. EDN UGWBIP.

17. Вычужина З.К. Расчет значения первой частоты собственных колебаний плоской фермы с грузом // Строительная механика и конструкции. 2023. № 3 (38). С. 136–142. DOI: 10.36622/VSTU.2023.38.3.013. EDN FQOHWL.

18. Комерзан Е.В., Ниналалов И.Г., Свириденко О.В. Расчет основной частоты собственных колебаний плоской модели составной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 4 (39). С. 27–34. DOI: 10.36622/VSTU.2023.39.4.003. EDN DLVBCD.

19. Бука-Вайваде К., Кирсанов М.Н., Сердюк Д.О. Calculation of deformations of a cantilever-frame planar truss model with an arbitrary number of panels // Вестник МГСУ. 2020. Т. 15. № 4. С. 510–517. DOI: 10.22227/1997-0935.2020.4.510-517. EDN GGKIPC.

20. Галишникова В.В., Игнатьев В.А. Регулярные стержневые системы. Теория и методы расчета. Волгоград : ВолгГАСУ, 2006. EDN QNMMHT.

21. Петриченко Е.А. Нижняя граница частоты собственных колебаний фермы Финка // Строительная механика и конструкции. 2020. № 3 (26). С. 21–29. EDN PINHFN.

22. Low K.H. A modified Dunkerley formula for eigenfrequencies of beams carrying concentrated masses // International Journal of Mechanical Sciences. 2000. Vol. 42. Issue 7. Pp. 1287–1305. DOI: 10.1016/s0020-7403(99)00049-1