Гармонические продольные волны в дискретно-неоднородных вязкоупругих стержнях

Введение. Рассматриваются гармонические продольные волны в полубесконечных дискретно-неоднородных вязко-упругих стержнях, составленных из произвольного числа вязкоупругих слоев. Цель исследования — разработка аналитического решения, а также изучение влияния свойств слоистых материалов и моделей вязкоупругости на дисперсию и затухание волн, что важно для колебательных процессов.

Материалы и методы. Метод основан на спектральном представлении уравнений движения и применяется к классическим моделям Кельвина – Фойгта, Максвелла и стандартного линейного твердого тела. Получены явные комплексные дисперсионные соотношения, выражения для коэффициента затухания и критерии резкого роста амплитуды при переходе волны через границу слоев.

Результаты. Выявлены зависимости демпфирования от модуля упругости, плотности и времен релаксации/ретардации.

Выводы. Предложенный аналитический подход обеспечивает надежную основу для целенаправленного конструирования виброизолирующих метаматериалов и сейсмических барьеров с заданными частотными свойствами.

1. Баенова Г.М., Сеньковская А.А. Обзор фононных кристаллов и акустических метаматериалов // Тенденции развития науки и образования. 2021. № 72-1. С. 23–26. DOI: 10.18411/lj-04-2021-03. EDN GSXMNL.

2. Lim C.W. From photonic crystals to seismic metamaterials : а review via phononic crystals and acoustic metamaterials // Archives of Computational Methods in Engineering. 2021. Vol. 29. Issue 2. Pp. 1137–1198. DOI: 10.1007/s11831-021-09612-8

3. Кузнецов С.В., Саиян С.Г. Нелинейные акустические волны в гиперупругих стержнях // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2025. № 2. С. 210–225. DOI: 10.31857/S1026351925020129. EDN ANREGK.

4. Ma J. Phonon engineering of micro‐ and nano-phononic crystals and acoustic metamaterials : a review // Small Science. 2023. Vol. 3. Issue 1. DOI: 10.1002/smsc.202200052

5. Qahtan A.S., Huang J., Amran M., Qader D.N., Fediuk R., Wael A.D. Seismic composite metamaterial : a review // Journal of Composites Science. 2022. Vol. 6. Issue 11. P. 348. DOI: 10.3390/jcs6110348

6. Morozov N.F., Bratov V.A., Kuznetsov S.V. Seismic barriers for protection against surface and headwaves: multiple scatters and metamaterials // Mechanics of Solids. 2021. Vol. 56. Issue 6. Pp. 911–921. DOI: 10.3103/S0025654421060133

7. Bratov V., Kuznetsov S., Morozov N. Seismic barriers filled with solid elastic and granular materials: Comparative analysis // Mathematics and Mechanics of Solids. 2022. Vol. 27. Issue 9. Pp. 1761–1770. DOI: 10.1177/10812865221104235

8. Ormachea J., Parker K.J. Comprehensive viscoelastic characterization of tissues and the inter-relationship of shear wave (group and phase) velocity, attenuation and dispersion // Ultrasound in Medicine & Biology. 2020. Vol. 46. Issue 12. Pp. 3448–3459. DOI: 10.1016/j.ultrasmedbio.2020.08.023

9. Саиян С.Г., Модестов К.А., Брыгар О.А. Моделирование волновых процессов в толстостенной вязкоупругой сферической оболочке при импульсном воздействии // Вестник Инженерной школы Дальневосточного федерального университета. 2024. № 4 (61). С. 31–39. DOI: 10.24866/2227-6858/2024-4/31-39. EDN FGFXNM.

10. Shitikova M.V., Modestov K.A., Brygar O.A. Harmonic wave propagation modelling in viscoelastic rods via Rzhanitsyn fractional order operators // AIP Conference Proceedings. 2024. Vol. 3177. P. 030003. DOI: 10.1063/5.0294973. EDN EFIKMP.

11. Carcione J.M., Kosloff D., Kosloff R. Wave propagation simulation in a linear viscoelastic medium // Geophysical Journal International. 1988. Vol. 95. Issue 3. Pp. 597–611. DOI: 10.1111/j.1365-246X.1988.tb06706.x

12. Lai C.G., Rix G.J., Foti S., Roma V. Simultaneous measurement and inversion of surface wave dispersion and attenuation curves // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2002. Vol. 22. Issue 9–12. Pp. 923–930. DOI: 10.1016/S0267-7261(02)00116-1

13. Shitikova M.V., Krusser A.I. Models of viscoelastic materials : a review on historical development and formulation // Advanced Structured Materials. 2022. Pp. 285–326. DOI: 10.1007/978-3-031-04548-6_14

14. Lau H.C.P. Surface loading on a self-gravitating, linear viscoelastic Earth: moving beyond Maxwell// Geophysical Journal International. 2024. Vol. 237. Issue 3. Pp. 1842–1857. DOI: 10.1093/gji/ggae149

15. Shu Z., You R., Zhou Y. Viscoelastic materials for structural dampers : а review // Construction and Building Materials. 2022. Vol. 342. P. 127955. DOI: 10.1016/j.conbuildmat.2022.127955

16. Саиян С.Г. Аналитические решения прохождения поверхностных волн через энергопоглощающие сейсмические барьеры // Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений : тез. докл. IX Междунар. симпозиума. 2025. С. 102–103. EDN FBKRGV.

17. Modestov K., Saiyan S., Erokhin A., Brygar O. Derivation of the one-dimensional radiation condition in elasticity theory by introducing infinitesimal viscosity // E3S Web of Conferences. 2023. Vol. 410. P. 03025. DOI: 10.1051/e3sconf/202341003025

18. Shitikova M.V., Modestov K.A. Analysis of Harmonic Wave Propagation in Fractional Derivative Viscoelastic Media Based on Time-Dependent Modulus of the P-Wave // Mechanics of Solids. 2024. Vol. 59. Issue 8. Pp. 3949–3967. DOI: 10.1134/S00256544246-07079

19. Шитикова М.В. Обзор вязкоупругих моделей с операторами дробного порядка, используемых в динамических задачах механики твердого тела // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2022. № 1. С. 3–40. DOI: 10.31857/S0572329921060118. EDN QMNNKY.

20. Модестов К.А., Шитикова М.В. Распространение гармонических волн в вязкоупругих средах, описываемых моделями с дробными производными // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025. Т. 25. № 2. С. 214–230. DOI: 10.18500/1816-9791-2025-25-2-214-230. EDN PVASPW.

21. Gulkanov A.G., Modestov K.A., Shitikova M.V., Erokhin A.V. Propagation of harmonic waves in viscoelastic rods via the fractional derivative models // AIP Conference Proceedings. 2025. Vol. 3271. P. 060002. DOI: 10.1063/5.0251912