Методы аналитического расчета частоты собственных колебаний фермы пространственной консоли

Введение. Расчет частоты собственных колебаний строительных конструкций, как правило, выполняется численными методами. Для оценки границ частоты колебаний простых статически определимых конструкций известны методы получения аналитических решений. Если конструкция регулярная и имеет периодическую структуру, то возможности аналитических методов расширяются. С помощью метода индукции в расчетную формулу для собственной частоты можно ввести дополнительный важный параметр — число периодических структур конструкции, например число панелей. Приближенный метод Рэлея дает оценку частоты колебаний сверху, а метод Донкерлея — оценку снизу. Предлагается схема консольной пространственной статически определимой фермы с регулярной структурой и приводится вывод формулы для ее первой частоты колебаний тремя аналитическими методами.

Материалы и методы. Ферма состоит из шести соединенных по длинным сторонам плоских ферм с раскосной решеткой. Крепление консольной конструкции к вертикальному основанию выполнено на шести опорах. Для определения жесткости фермы используется формула Максвелла – Мора и система компьютерной математики Maple. Выводится формула для зависимости первой частоты колебаний на основе методов Донкерлея и Рэлея, в которые вносятся упрощения, связанные с суммированием. Зависимость частоты от числа панелей находится индуктивным методом обобщения результатов, полученных для отдельных решений в символьном виде на произвольный случай.

Результаты. Аналитические решения сравниваются с численным, полученным для первой частоты из анализа спектра частот. Показано, что точность аналитических решений немонотонно зависит от числа панелей, и для трех использованных методов эта зависимость разная.

Выводы. Модифицированный метод Рэлея для небольшого числа панелей по сравнению с методами на основе подхода Донкерлея продемонстрировал наибольшую точность. Погрешность всех трех методов существенно зависит от размеров конструкции и числа панелей. Аналитическая форма результатов позволяет использовать найденные решения в задачах оптимизации конструкции.

1. Borji A., Boroomand B., Movahedian B. Experimental and numerical investigations on wave propagation in planar frames and trusses with shear deformable elements: Introduction of a fast numerical method using degrees of freedom just at joints // Structures. 2024. Vol. 70. P. 107599. DOI: 10.1016/j.istruc.2024.107599. EDN GKXBGX.

2. Li X., Chen T., Jin D. Discrete adaptive mesh refinement for equivalence modelling of planar beamlike periodic truss with rigid joints // Thin-Walled Structures. 2025. Vol. 210. P. 112967. DOI: 10.1016/j.tws.2025.112967. EDN FGSGHV.

3. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В. Метод конечных элементов в форме классического смешанного метода строительной механики (теория, математические модели и алгоритмы). М. : Издательство АСВ, 2022. 306 с. EDN CSOLBF.

4. Zotos K. Performance comparison of Maple and Mathematica // Applied Mathematics and Computation. 2007. Vol. 188. Issue 2. Pp. 1426–1429. DOI: 10.1016/j.amc.2006.11.008

5. Rapp B.E. Introduction to Maple // Microfluidics: Modelling, Mechanics and Mathematics. 2017. Pp. 9–20. DOI: 10.1016/b978-1-4557-3141-1.50002-2

6. Goloskokov D.P. Analyzing simply supported plates using Maple system // 2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA). 2014. Pp. 55–56. DOI: 10.1109/icctpea.2014.6893273

7. Лыонг Конг Л. Зависимость области резонансно безопасных частот от размеров статически определимой плоской фермы // Строительная механика и конструкции. 2024. № 2 (41). С. 16–26. DOI: 10.36622/2219-1038.2024.41.2.002. EDN AKAVDU.

8. Luong C.L. Resonance safety zones of a truss structure with an arbitrary number of panels // Construction of Unique Buildings and Structures. 2024. Vol. 113. Issue 4. P. 11304. DOI: 10.4123/CUBS.113.4. EDN FLBVJY.

9. Луан Л.К. Оценки прогиба и частоты собственных колебаний шарнирно-стержневой рамы с произвольным числом панелей // Строительная механика и конструкции. 2024. № 4 (43). С. 42–53. DOI: 10.36622/2219-1038.2024.43.4.004. EDN MGQUXN.

10. Maslov A. The first natural frequency of a planar regular truss. Analytical solution // Construction of Unique Buildings and Structures. 2023. Vol. 109. Issue 4. P. 10912. DOI: 10.4123/CUBS.109.12. EDN QNZNZW.

11. Комерзан Е.В., Маслов А.Н. Аналитическая оценка основной частоты собственных колебаний регулярной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). С. 17–26. DOI: 10.36622/VSTU.2023.37.2.002. EDN GMNMJQ.

12. Комерзан Е.В., Маслов А.Н. Оценка основной частоты колебаний Г-образной пространственной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). С. 35–45. DOI: 10.36622/VSTU.2023.37.2.004. EDN UGWBIP.

13. Sviridenko O.V., Komerzan E.V. The dependence of the natural oscillation frequency of the console truss on the number of panels // Construction of Unique Buildings and Structures. 2022. Vol. 101. Issue 3. P. 10101. DOI: 10.4123/CUBS.101.1. EDN CKQDPU.

14. Комерзан Е.В., Свириденко О.В. Статические деформации фермы составной пространственной рамы. Аналитические решения // Строительная механика и конструкции. 2022. № 4 (35). С. 40–48. DOI: 10.36622/VSTU.2022.35.4.005. EDN NCYGXE.

15. Астахов С.В. Аналитическая оценка прогиба стержневой модели каркаса четырехскатного по-крытия // Строительная механика и конструкции. 2024. № 4 (43). С. 34–41. DOI: 10.36622/2219-1038.2024.43.4.003. EDN GITKYF.

16. Kirsanov M.N. Model of a hexagonal prismatic truss. Oscillation frequency spectrum // Construction of Unique Buildings and Structures. 2023. Vol. 106. Issue 1. P. 10601. DOI: 10.4123/CUBS.106.1. EDN IPEVXJ.

17. Hutchinson R.G., Fleck N.A. Microarchitectured cellular solids — the hunt for statically determinate periodic trusses // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 2005. Vol. 85. Issue 9. Pp. 607–617. DOI: 10.1002/zamm.200410208

18. Hutchinson R.G., Fleck N.A. The structural performance of the periodic truss // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006. Vol. 54. Issue 4. Pp. 756–782. DOI: 10.1016/j.jmps.2005.10.008

19. Галишникова В.В., Игнатьев В.А. Регулярные стержневые системы: теория и методы расчета. Волгоград : ВолгГАСУ, 2006. EDN QNMMHT.

20. Kaveh A., Hosseini S.M., Zaerreza A. Size, Layout, and Topology Optimization of Skeletal Structures Using Plasma Generation Optimization // Iranian Journal of Science and Technology, Transactions of Civil Engineering. 2021. Vol. 45. Issue 2. Pp. 513–543. DOI: 10.1007/s40996-020-00527-1

21. Kaveh A. Optimal analysis of structures by concepts of symmetry and regularity. 2013. DOI: 10.1007/978-3-7091-1565-7

22. Кирсанов М.Н. Метод энергетической коллокации для оценки основной частоты собственных колебаний фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 1 (36). С. 27–37. DOI: 10.36622/VSTU.2023.36.1.003. EDN UODTDL.

23. Vorobev O. Bilateral analytical estimation of the first frequency of a plane truss // Construction of Unique Buildings and Structures. 2020. Vol. 92. Issue 7. P. 9204. DOI: 10.18720/CUBS.92.4. EDN ODWWBN.