Обобщенные гиперупругие потенциалы для одномерных задач из бимодульных материалов

Введение. Большое количество природных и искусственных материалов проявляют различные механические свойства при сжатии и растяжении. Такие материалы называют бимодульными. Материалы, имеющие один и тот же модуль упругости при сжатии и растяжении при испытаниях, в процессе их работы в строительных конструкциях проявляют свойства бимодульных.

Материалы и методы. Исследование связано с построением семейства однопараметрических гладких бесконечно дифференцируемых гиперупругих потенциалов для несжимаемых бимодульных материалов при одномерном движении; выводом разрешающих уравнений замкнутой формы, включая уравнение движения, уравнение совместимости Адамара и уравнение энергетического баланса; выполнением динамического анализа распространения гармонических колебаний в полубесконечном стержне. Разрабатываемый метод основан на комбинированном механико-термодинамическом подходе в сочетании с энергосберегающей явной численной схемой Лакса – Вендроффа.

Результаты. Построено семейство однопараметрических бесконечно дифференцируемых гиперупругих потенциалов для трехмерных бесконечно малых задач о бимодульных изотропных материалах, дающее набор однородных приближений к прерывистому ступенчатому модулю упругости, принятому в исходной одномерной бимодульной постановке. Введенные зависимости позволяют либо получить аналитические решения, либо вывести явные разрешающие уравнения для ряда статических и динамических задач. Доказана теорема о сходимости к разрывному модулю для бимодульных материалов.

Выводы. Фронты ударных волн, которые появляются в одномерных стержнях, изготовленных из нелинейных материалов, моделируемых семейством гладких гиперупругих потенциалов, демонстрируют, что их образование не вызвано разрывом в соотношении напряжение – деформация, соответствующем бимодульным материалам. Фронты ударных волн возникают в материалах, моделируемых рассмотренными гладкими гиперупругими потенциалами как в случае бимодульного материала, так и любого другого гиперупругого материала. Распространение фронтов ударных волн приводит к рассеянию механической энергии, что подразумевает уменьшение амплитуд с расстоянием.

1. Misseri G., Rovero L. Rammed earth as bi-modulus material: Experimental and analytical investigations through Euler-Bernoulli and Timoshenko beam models // International Journal of Masonry Research and Innovation. 2022. Vol. 7. Issue 5. P. 482. DOI: 10.1504/ijmri.2022.125359

2. Ковтанюк Л.В., Панченко Г.Л., Попова Е.О. К моделированию больших деформаций разномодульных упругих сред // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2023. № 1 (55). С. 5–12. DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.001. EDN DZJIJP.

3. Caporale A., Parisi F., Asprone D., Luciano R., Prota A. Critical surfaces for adobe masonry: Micromechanical approach // Composites Part B: Engineering. 2014. Vol. 56. Pp. 790–796. DOI: 10.1016/j.compositesb.2013.08.087

4. Guo Y., Wen S.R., Sun J.Y., He X.T. Theoretical study on thermal stresses of metal bars with different moduli in tension and compression // Metals. 2022. Vol. 12. Issue 2. P. 347. DOI: 10.3390/met12020347

5. Qiu Y., Shen W., Yan R., Li X., Ye Z., Li M. et al. An improved numerical method for calculating mechanical properties of bi-modulus sandwich composite structures // Ocean Engineering. 2022. Vol. 250. P. 110998. DOI: 10.1016/j.oceaneng.2022.110998

6. Адамов А.А. Методические проблемы экспериментального обоснования и верификации определяющих уравнений разномодульной теории упругости // Прикладная механика и техническая физика. 2020. Т. 61. № 6 (364). С. 82–90. DOI: 10.15372/PMTF20200611. EDN HLBYZF.

7. Кривчун Н.А., Уманская О.Л. Изгиб составной пластины из разномодульных материалов. Краевые условия // Современные наукоемкие технологии. 2020. № 6–1. С. 56–60. DOI: 10.17513/snt.38071. EDN PVOOJE.

8. Rosakis P., Notbohm J., Ravichandran G. A model for compression-weakening materials and the elastic fields due to contractile cells // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2015. Vol. 85. Pp. 16–32. DOI: 10.1016/j.jmps.2015.08.013

9. Назаров В.Е., Кияшко С.Б., Радостин А.В. Самоподобные волны в средах с разномодульной упругой нелинейностью и релаксацией // Нелинейная динамика. 2015. T. 11. № 2. С. 209–218. EDN UBLNYP.

10. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. О разрушении при сжатии // Физическая мезомеханика. 2018. Т. 21. № 3. С. 86–102. DOI: 10.24411/1683-805X-2018-13009. EDN XRGSGL.

11. Patel S., Martin C.D. Application of flattened Brazilian test to investigate rocks under confined extension // Rock Mechanics and Rock Engineering. 2018. Vol. 51. Issue 12. Pp. 3719–3736. DOI: 10.1007/s00603-018-1559-1

12. Пахомов Б.М. Вариант модели изотропного разномодульного материала // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия Машиностроение. 2017. № 6 (117). С. 35–48. DOI: 10.18698/0236-3941-2017-6-35-48. EDN ZVZBQL.

13. Jiang K., Qi C., Zhu S., Jin T. Study of the frequency response of the block–rock mass with bimodulus characteristics // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2020. Vol. 570. Issue 5. P. 052006. DOI: 10.1088/1755-1315/570/5/052006

14. Mahfouz I.A., Badrakhan F. Chaotic behaviour of some piecewise-linear systems. Part I: systems with set-up spring or with unsymmetric elasticity // Journal of Sound and Vibration. 1990. Vol. 143. Issue 2. Pp. 255–288. DOI: 10.1016/0022-460x(90)90954-x

15. Ostrovsky A. Wave processes in media with strong acoustic nonlinearity // The Journal of the Acoustical Society of America. 1991. Vol. 90. Issue 6. Pp. 3332–3337. DOI: 10.1121/1.401444

16. Ostrovsky L.A., Starobinets I.M. Transitions and statistical characteristics of vibrations in a bimodular oscillator // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 1995. Vol. 5. Issue 3. Pp. 496–500. DOI: 10.1063/1.166121

17. Shaw S.W., Holmes P.J. A periodically forced piecewise linear oscillator // Journal of Sound and Vibration. 1983. Vol. 90. Issue 1. Pp. 129–155. DOI: 10.1016/0022-460x(83)90407-8

18. Shulman J.N. Chaos in piecewise-linear systems // Physical Review A. 1983. Vol. 28. Issue 1. Pp. 477–479. DOI: 10.1103/physreva.28.477

19. Zhou N., Liu K. A tunable high-static–low-dynamic stiffness vibration isolator // Journal of Sound and Vibration. 2010. Vol. 329. Issue 9. Pp. 1254–1273. DOI: 10.1016/j.jsv.2009.11.001

20. Bert C.W., Kumar M. Vibration of cylindrical shells of bimodulus composite materials // Journal of Sound and Vibration. 1982. Vol. 81. Issue 1. Pp. 107–121. DOI: 10.1016/0022-460x(82)90180-8

21. Bert C.W., Reddy J.N., Chao W.C., Reddy V.S. Vibration of thick rectangular plates of bimodulus composite material // Journal of Applied Mechanics. 1981. Vol. 48. Issue 2. Pp. 371–376. DOI: 10.1115/1.3157625

22. Du L., Li F., Liu Q. A study on determination of application limits of bimodulus calculation using spherical stress tensor method // Journal of Reinforced Plastics and Composites. 2017. Vol. 36. Issue 7. Pp. 479–490. DOI: 10.1177/0731684416684210

23. Khan A.H., Patel B.P. Nonlinear forced vibration response of bimodular laminated composite plates // Composite Structures. 2014. Vol. 108. Pp. 524–537. DOI: 10.1016/j.compstruct.2013.09.054

24. Khan K., Patel B.P., Nath Y. Free and forced vibration characteristics of bimodular composite laminated circular cylindrical shells // Composite Structures. 2015. Vol. 126. Pp. 386–397. DOI: 10.1016/j.compstruct.2015.02.022

25. Lucchesi M., Pagni A. Longitudinal oscillations of bimodular rods // International Journal of Structural Stability and Dynamics. 2005. Vol. 5. Issue 1. Pp. 37–54. DOI: 10.1142/S0219455405001490

26. Moon F.C. Chaotic Vibrations. John Wiley & Sons, 1987. 309 p.

27. Gavrilov S.N., Herman G.C. Wave propagation in a semi-infinite heteromodular elastic bar subjected to a harmonic loading // Journal of Sound and Vibration. 2012. Vol. 331. Issue 20. Pp. 4464–4480. DOI: 10.1016/j.jsv.2012.05.022

28. Ilyashenko A.V., Kuznetsov S.V. Pochhammer–Chree waves: polarization of the axially symmetric modes // Archive of Applied Mechanics. 2018. Vol. 88. Issue 8. Pp. 1385–1394. DOI: 10.1007/s00419-018-1377-7

29. Krylov V.V. Acoustic black holes for flexural waves: a smart approach to vibration damping // Procedia Engineering. 2017. Vol. 199. Pp. 56–61. DOI: 10.1016/j.proeng.2017.09.150

30. Kuznetsova M., Khudyakov M., Sadovskii V. Wave propagation in continuous bimodular media // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2022. Vol. 29. Issue 21. Pp. 3147–3162. DOI: 10.1080/15376494.2021.1889725

31. Trujillo L., Peniche F., Sigalotti L.D.G. Derivation of a Schrödinger-like equation for elastic waves in granular media // Granular Matter. 2010. Vol. 12. Issue 4. Pp. 417–436. DOI: 10.1007/s10035-010-0190-y

32. Дудко О.В., Лаптева А.А., Рагозина В.Е. Нестационарные одномерные динамические задачи разномодульной упругости с кусочно-линейной аппроксимацией краевых условий // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2019. № 4. С. 37–47. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.4.04. EDN PCRUTF.

33. Grazzini R., Misseri G., Rovero L. A bi-modulus material model for bending test on NHL3.5 lime mortar // Materials. 2023. Vol. 16. Issue 2. P. 486. DOI: 10.3390/ma16020486

34. Sun J., Zhu H., Qin S., Yang D., He X. A review on the research of mechanical problems with different moduli in tension and compression // Journal of Mechanical Science and Technology. 2010. Vol. 24. Issue 9. Pp. 1845–1854. DOI: 10.1007/s12206-010-0601-3

35. Zhang X., Garijo L., Ruiz G., Ortega J. Loading-rate effect on the fracture response of natural hydraulic and aerial-lime mortars // Journal of Materials in Civil Engineering. 2020. Vol. 32. Issue 9. DOI: 10.1061/(ASCE)MT.1943-5533.0003358

36. Hemmerle A., Schröter M., Goehring L. A cohesive granular material with tunable elasticity // Scientific Reports. 2016. Vol. 6. Issue 1. DOI: 10.1038/srep35650

37. Makse H.A., Gland N., Johnson D., Schwartz L. Granular packings: Nonlinear elasticity, sound propagation, and collective relaxation dynamics // Physical Review E. 2004. Vol. 70. Issue 6. DOI: 10.1103/physreve.70.061302

38. Royer D., Dieulesaint E. Elastic Waves in Solids I: Free and Guided Propagation. Springer, 1996. 374 p.

39. Zemanek J. An experimental and theoretical investigation of elastic wave propagation in a cylinder // The Journal of the Acoustical Society of America. 1972. Vol. 51. Issue 1B. Pp. 265–283. DOI: 10.1121/1.1912838

40. Goldstein R.V., Dudchenko A.V., Kuznetsov S.V. The modified Cam-Clay (MCC) model: cyclic kinematic deviatoric loading // Archive of Applied Mechanics. 2016. Vol. 86. Issue 12. Pp. 2021–2031. DOI: 10.1007/s00419-016-1169-x

41. Goldstein R.V., Kuznetsov S.V. Long-wave Asymptotics of Lamb waves // Mechanics of Solids. 2017. Vol. 52. Issue 6. Pp. 700–707. DOI: 10.3103/s0025654417060097

42. Djeran-Maigre I., Kuznetsov S.V. Velocities, dispersion, and energy of SH-waves in anisotropic laminated plates // Acoustical Physics. 2014. Vol. 60. Issue 2. Pp. 200–207. DOI: 10.1134/s106377101402002x

43. Cacciafesta F., D’Ancona P., Lucà R. A limiting absorption principle for the Helmholtz equation with variable coefficients // Journal of Spectral Theory. 2018. Vol. 8. Issue 4. Pp. 1349–1392. DOI: 10.4171/jst/229

44. Макаров О.И., Шанин А.В., Корольков А.И. Интеграл Зоммерфельда в задачах моделирования дифракции акустических волн с помощью треугольной сетки // Акустический журнал. 2023. Т. 69. № 2. С. 129–145. DOI: 10.31857/S0320791923600105. EDN IULQGZ.

45. Truesdell C., Noll W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics. Springer Berlin Heidelberg. 2004. 602 p. DOI: 10.1007/978-3-662-10388-3

46. Kuznetsov S.V. Abnormal dispersion of flexural Lamb waves in functionally graded plates // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2019. Vol. 70. Issue 3. DOI: 10.1007/s00033-019-1132-0

47. Lax P.D. Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves. SIAM, Philadelphia, 1973. DOI: 10.1137/1.9781611970562

48. Костиков Ю.А., Романенков А.М. Гибридная схема для численного решения нелинейного уравнения Эйлера // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2021. № 2. С. 80–86. EDN BCJXPC.

49. Cellier F.E., Kofman E. Continuous System Simulation. Springer Science & Business Media, Berlin, 2006.

50. Kravtsov A.V., Kuznetsov S.V., Sekerzh-Zen’kovich S.Ya. Finite element models in Lamb’s problem // Mechanics of Solids. 2011. Vol. 46. Issue 6. Pp. 952–959. DOI: 10.3103/s002565441106015x

51. Kuznetsov S.V. “Forbidden” planes for Rayleigh waves // Quarterly of Applied Mathematics. 2002. Vol. 60. Issue 1. Pp. 87–97. DOI: 10.1090/qam/1878260

52. Kuznetsov S.V. Subsonic Lamb waves in anisotropic plates // Quarterly of Applied Mathematics. 2002. Vol. 60. Issue 3. Pp. 577–587. DOI: 10.1090/qam/1914442

53. Li S., Brun M., Djeran-Maigre I., Kuznetsov S. Hybrid asynchronous absorbing layers based on Kosloff damping for seismic wave propagation in unbounded domains // Computers and Geotechnics. 2019. Vol. 109. Pp. 69–81. DOI: 10.1016/j.compgeo.2019.01.019

54. Быков В.Г. Формирование режимов скольжения в разломах и медленные деформационные волны // Физическая мезомеханика. 2019. Т. 22. № 4. С. 39–46. DOI: 10.24411/1683-805X-2019-14004. EDN OHCQWY.

55. Kuznetsov S.V., Terentjeva E.O. Planar internal Lamb problem: Waves in the epicentral zone of a vertical power source // Acoustical Physics. 2015. Vol. 61. Issue 3. Pp. 356–367. DOI: 10.1134/s1063771015030112

56. Truesdell C. General and exact theory of waves in finite elastic strain // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1961. Vol. 8. Issue 1. Pp. 263–296. DOI: 10.1007/bf00277444